Integrar uma função usando o caso da Secante
Quando a função que você está integrando inclui um termo da forma (bx2- uma2)n, desenhar o seu triângulo substituição trig para o caso de secante. Por exemplo, suponha que você deseja avaliar esta integral:
Este é um caso secante, porque um múltiplo de x2 menos uma constante está sendo elevado a uma potência
Integrar utilizando a substituição trig da seguinte forma:
Desenhe o triângulo substituição trig para o caso de secante.
A figura mostra como preencher o triângulo para o caso de secante. Observe que o radical vai para a oposto Sideof do triângulo. Em seguida, para preencher os dois outros lados do triângulo, utilizar as raízes quadradas de os dois termos no interior do radical - isto é, 1 e 4x. Coloque a constante de 1 no lado adjacente e a variável de quatrox da hipotenusa.
Você pode verificar para se certificar de que este posicionamento está correto usando o teorema de Pitágoras:
Identificar as peças separadas do integral (incluindo dx) Que você precisa de expressar em termos de theta.
Neste caso, a função contém duas partes separadas que contêm x:
Expressar essas peças em termos de funções trigonométricas de theta.
No caso da secante, todos funções trigonométricas deve ser inicialmente representada como tangentes e secantes.
Para representar a parte radical como uma função trig de theta, construir uma fracção utilizando o radical
como o numerador, e a constante de 1 como o denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig apropriado:
Note-se que esta fracção é o lado oposto do triângulo sobre o lado adjacente
por isso é igual
Simplificando um pouco dá-lhe esta equação:
Em seguida, expressam dx como uma função trig de theta. Para fazer isso, construir uma outra fracção com a variável x no numerador e a constante 1 no denominador:
Desta vez, a fracção é a hipotenusa ao longo do lado adjacente do triângulo
o que equivale
Agora resolva para x e diferenciam-se para encontrar dx:
Expressar a integral em termos de theta e avaliá-lo:
Agora use a fórmula para a integral da função secante:
Alterar os dois termos teta de volta para x termos:
Neste caso, você não tem que encontrar o valor de teta porque você já sabe os valores de
em termos de x a partir do Passo 3. Então substituir esses dois valores para obter a sua resposta final:
