Integrar uma função usando o caso Tangent

Quando a função que você está integrando inclui um termo da forma (uma2 + x2)n, desenhar o seu triângulo substituição trigonometria para o caso tangente. Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral:

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Este é um caso tangente, porque uma constante mais uma múltipla de x2 está a ser elevado a uma potência (-2). Aqui está como você usa trig substituição a integrar:

  1. Desenhe o triângulo substituição trig para o caso tangente.

    image1.jpg

    A figura mostra como preencher o triângulo para o caso tangente. Observe que o radical do que está dentro dos parênteses vai para a hipotenusa do triângulo. Em seguida, para preencher os dois outros lados do triângulo, utilizar as raízes quadradas de os dois termos no interior do radical - isto é, dois e trêsx. Coloque o termo constante 2 no lado adjacente e termo variável 3x no lado oposto.

    Com o caso tangente, certifique-se de não misturar o seu posicionamento da variável e constante.

  2. Identificar as peças separadas do integral (incluindo dx) Que você precisa de expressar em termos de theta.

    Neste caso, a função contém duas partes separadas que contêm x:

    image2.png

  3. Expressar essas peças em termos de funções trigonométricas de theta.

    No caso tangente, todos funções trigonométricas deve ser inicialmente expressa como tangentes e secantes.

    Para representar a parte racional como uma função trig de theta, construir uma fracção com o radical

    image3.png

    como o numerador eo constante 2 como denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig apropriado:

    image4.png

    Uma vez que esta fracção é a hipotenusa do triângulo sobre o lado adjacente

    image5.png

    é igual a

    image6.png

    Agora use álgebra e trigonometria identidades de ajustar esta equação em forma:

    image7.png

    Em seguida, expressam dx como uma função trig de theta. Para fazer isso, construir uma outra fracção com a variável 3x no numerador e a constante 2 no denominador:

    image8.png

    Desta vez, a fracção é o lado oposto do triângulo sobre o lado adjacente

    image9.png

    por isso é igual

    image10.png

    Agora resolva para x e, em seguida, diferenciar:

    image11.png

  4. Expressar a integral em termos de theta e avaliá-lo:

    image12.png

    Agora, alguns de cancelamento e reorganização transforma este de aparência desagradável integrante em algo administrável:

    image13.png

    Neste ponto, você pode avaliar esta integral:

    image14.png

    Então aqui está a substituição:

    image15.png

    E aqui é a antiderivada:

    image16.png

  5. Alterar os dois termos teta de volta para x termos:

    Você precisa encontrar uma maneira de expressar teta em termos de x. Aqui é a maneira mais simples:

    image17.png

    Então aqui está uma substituição que lhe dá uma resposta:

    image18.png

Essa resposta é válida, mas a maioria dos professores não vai ser louco sobre esse segundo mandato feio, com o seno de um arco tangente. Para simplificar, aplicar a fórmula sine duplo ângulo para

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Agora use seu triângulo substituição trig para substituir valores para

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em termos de x:

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Finalmente, use este resultado para expressar a resposta em termos de x:

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