Integrar uma função usando o caso Sine
Quando a função que você está integrando inclui um termo da forma (uma2 - bx2)n, desenhar o seu triângulo substituição trig para o caso sine. Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral:
Este é um caso de seno, porque uma constante de menos de um múltiplo x2 está a ser elevado a uma potência
Veja como você usar a substituição de trig para lidar com o trabalho:
Desenhe o triângulo substituição trig para o caso correto.
Esta figura mostra como preencher o triângulo para o caso senoidal. Observe que o radical vai para a adjacente lado do triângulo. Então, para preencher os outros dois lados do triângulo, você usa as raízes quadradas dos dois termos dentro do radical - ou seja, 2 e x. Place 2 da hipotenusa e x no lado oposto.
Você pode verificar para se certificar de que este posicionamento está correto usando o teorema de Pitágoras:
Identificar as peças separadas do integral (incluindo dx) Que você precisa de expressar em termos de theta.
Neste caso, a função contém duas partes separadas que contêm x:
Expressar essas peças em termos de funções trigonométricas de theta.
Este é o verdadeiro trabalho de trig substituição, mas quando o triângulo é configurado corretamente, este trabalho torna-se muito mais fácil. No caso de seno, todos funções trigonométricas deve ser senos e co-senos.
Para representar a parte radical como uma função trig de theta, primeiro construir uma fracção com o radical
como o numerador eo constante 2 como denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig apropriado:
Uma vez que o numerador é o lado adjacente do triângulo e o denominador é a hipotenusa
desta fracção é igual a
Agora, um pouco de álgebra recebe o radical por si só de um lado da equação:
Em seguida, você quer expressar dx como uma função trig de theta. Para fazer isso, construir uma outra fracção com a variável x no numerador e a constante 2 no denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig correto:
Desta vez, o numerador é o lado oposto do triângulo e o denominador é a hipotenusa
por isso esta é igual a fracção
Agora resolva para x e, em seguida, diferenciar:
Reescrever a integral em termos de theta e avaliá-lo:
Para alterar esses dois termos teta em x termos, reutilizar a seguinte equação:
Então aqui está uma substituição que lhe dá uma resposta:
Essa resposta é perfeitamente válido para que, tecnicamente falando, você pode parar aqui. No entanto, alguns professores desaprovam a nidificação de trig e funções trigonométricas inversas, então eles vão preferir uma versão simplificada do
Para encontrar isso, começar aplicando a fórmula sine duplo ângulo para
Agora use seu triângulo substituição trig para substituir valores para
em termos de x:
Para terminar, substituir esta expressão para esse segundo mandato problemático para obter a sua resposta final em uma forma simplificada:
