Como resolver uma equação Trig que tem várias funções de trigonometria

Algumas equações trigonométricas contêm mais de uma função trig. Outros têm misturas de vários ângulos e ângulos individuais com a mesma variável. Alguns exemplos de tais equações incluem 3cos² x = sin² x, 2sec x = tan x + berço x, cos 2x + cos x + 1 = 0, e o pecado x cos x = 02/01.

Para obter estas equações em formas mais gerenciáveis ​​para que você pode usar factoring ou outro método para resolvê-los, você usa identidades para substituir alguns ou todos os termos. Por exemplo, para resolver 3cos² x = sin² x para todos os ângulos entre 0 e 2PI-, aplicar uma identidade de Pitágoras.

1. Substituir o termo pecado² x com o seu equivalente da identidade de Pitágoras, o pecado² x + cos² x = 1 ou pecado² x = 1 - cos² x.

   3cos² x = 1 - cos² x

2. Adicionar cos² x para cada lado e simplificar dividindo.

   

3. Tome a raiz quadrada de cada lado.

   

4. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação.

   

Neste próximo exemplo, você começa com três funções trigonométricas diferentes. Uma boa tática é substituir cada função usando qualquer uma identidade ratio ou uma identidade recíproco. Usando essas identidades cria frações e as frações exigem denominadores comuns.

By the way, com frações em equações trigonométricas é Boa, porque os produtos que resultam de se multiplicar e fazer frações equivalentes são geralmente partes de identidades que você pode então substituir-se para fazer a expressão mais simples. resolver 2sec x = tan x + berço x para todas as soluções possíveis em graus.

1. Substitua cada termo com a respectiva identidade recíproca ou ratio.

   

2. Reescrever as fracções com o pecado denominador comum x cos x.

   Multiplicar cada termo por uma fração que é igual a 1, com qualquer sine ou cosseno, tanto no numerador e denominador.

   

3. Adicionar as duas fracções no lado direito. Em seguida, usando a identidade de Pitágoras, substituir o novo numerador com 1.

   
4. Defina a equação igual a 0, subtraindo o termo certo de cada lado.

   

5. Agora defina o numerador igual a 0.

   

   Se o numerador é igual a 0, em seguida, a fracção inteira é igual a 0. O denominador não deve ser permitido igual a 0 - um tal número não existe.

6. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação original.

   

No próximo exemplo, dois ângulos diferentes estão em jogo. Um ângulo é o dobro do tamanho do outro, para que você use uma dupla identidade de ângulo para reduzir os termos de funções de um único ângulo. O truque é escolher a versão correta do cosseno dupla identidade de ângulo.

Resolver cos 2x + cos x + 1 = 0 para x entre 0 e 2# 112-.

1. Substituir cos 2x com 2cos² x - 1.

   2cos²x- 1 + cos x + 1 = 0

   Esta versão da identidade de duplo ângulo de cosseno é preferível porque a outra função trigonométrica na equação já tem um co-seno na mesma.

2. Simplificar a equação. Então fatorar cos x.

   

3. Definir cada fator igual a 0.

   

4. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação original.

   

Este último exemplo pode ser enganosamente simples. O problema é que você tem que reconhecer uma dupla identidade de ângulo aberto e fazer um interruptor rápido.

1. Use a dupla identidade de ângulo sine para criar uma substituição para a expressão do lado esquerdo.

   Começando com a identidade e multiplicando cada lado por 1/2, você começa

   

2. Substituir a expressão do lado esquerdo da equação original com a sua equivalente de identidade de duplo ângulo.

   

3. Multiplicar cada lado da equação por dois.

   

4. Reescrever a expressão como uma função inversa.

   2x = sin^-1(1)

5. Determinar quais ângulos dentro dois rotações satisfazer a expressão.

   2x = sin^-1(1) = 90 # 176-, 450 # 176;

   Você usa duas rotações, pois o coeficiente de x é 2.

6. Divida cada termo por 2.

   

   Note-se que os ângulos resultantes têm entre 0 e 360 ​​graus.

Você pode generalizar a técnica de duplo ângulo a partir do exemplo acima, outras expressões de ângulos múltiplos.