Como integrar uma função multiplicado por um conjunto de funções aninhadas

Às vezes você precisa para integrar o produto de uma função (x) E uma composição de funções (por exemplo, a função de trêsx² + 7 aninhado dentro de uma função de raiz quadrada). Se você foram diferenciando, você pode usar uma combinação de a regra do produto e a regra da cadeia, mas essas opções não estão disponíveis para a integração.

Dado

aqui está como você integra, passo a passo, usando a substituição de variáveis:

1. Declare uma variável você como se segue e substituí-lo para o integral:

   Aqui, você atribuir um valor a você: deixei você = 3x² + 7. Agora substituir você para o integral:

   

   Fazer mais um pequeno rearranjo de colocar todos os restantes x termos juntos:

   

   Este rearranjo deixa claro que você ainda tem que encontrar uma substituição para x dx.

2. Agora diferenciar a função você = 3x² + 7:

   Isto dá-lhe o diferencial,

   

3. Substituto du/ 6 para x dx:

   

   Você pode mover a fração 1/6 fora da integral:

   

4. Agora você tem uma integral que você sabe como avaliar.

   Este exemplo coloca a raiz quadrada de forma exponencial, para se certificar de que você veja como fazer isso:

   

5. Para terminar, substituir 3x² + 7 para você:

   

Agora você pode verificar a sua integração diferenciando o resultado:

Como por magia, o derivado traz de volta para a função que você começou com.