Determinar se uma série de Taylor é convergente ou divergente

Uma vez que a série de Taylor é uma forma de série de potência, cada série de Taylor também tem um intervalo de convergência. Quando esse intervalo é de todo o conjunto dos números reais, você pode usar a série para encontrar o valor de f(x) Para qualquer valor real da x.

No entanto, quando o intervalo de convergência para uma série de Taylor é delimitada - isto é, quando se afasta para alguns valores de x - você pode usá-lo para encontrar o valor de f(x) só no seu intervalo de convergência.

Por exemplo, aqui estão os três importante série de Taylor:

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Todas estas três séries convergem para todos os valores reais de x, de modo que cada seja igual ao valor da sua respectiva função.

Agora considere a seguinte função:

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Você precisa de expressar essa função como uma série Maclaurin, que assume esta forma:

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a notação f(n) significa # 147-a nth derivado de f.# 148- Isto torna-se mais claro na versão expandida da série Maclaurin:

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Para fazer isso, siga estes passos:

  1. Localizar os primeiros derivados de

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  2. até que você reconhecer um padrão:

    image5.png

  3. Substituir 0 por x em cada um destes derivados:

    image6.png

  4. Ligue estes valores, termo a termo, na fórmula para a série Maclaurin:

    image7.png

  5. Se possível, expressar a série na notação sigma:

    image8.png

    Para testar esta fórmula, você pode usá-lo para encontrar f(x) quando

    image9.png

Você pode testar a precisão desta expressão, substituindo

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Como você pode ver, a fórmula produz a resposta correta. Agora tente usá-lo para encontrar f(x) quando x = 5, observando que a resposta correta deve ser

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O que aconteceu? Esta série converge apenas no intervalo (-1, 1), de modo que a fórmula produz apenas o valor f(x) quando x É neste intervalo. Quando x está fora deste intervalo, a série diverge, então a fórmula é inválida.

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