Expressar e funções de aproximação usando a série de Taylor

É importante entender a diferença entre expressing como uma função de uma série infinita e umapproximating uma função usando um número finito de termos de série. Você pode pensar em uma série de potências como um polinômio com um número infinito de termos (Taylor polinomiais).

Cada série de Taylor proporciona o valor exacto de uma função de todos os valores de x onde essa série converge. Isto é, para qualquer valor de x em seu intervalo de convergência, uma série Taylor converge para f(x).

Aqui é a série de Taylor em toda a sua glória;

Na prática, porém, acrescentando-se um número infinito de termos simplesmente não é possível. No entanto, você pode aproximar o valor dos f(x) Através da adição de um número finito de a série de Taylor apropriado.

Uma expressão construído a partir de um número finito de termos de uma série de Taylor é chamado um Taylor polinomial, T_n(x). Como outros polinômios, um polinômio Taylor é identificado por sua gravidade. Por exemplo, aqui está o quinto grau Taylor polinomial, T₅(x), Que se aproxima e^x:

De um modo geral, um maior grau resultados polinomiais em uma melhor aproximação. Para o valor de e^x quando x é próximo de 100, você obter uma boa estimativa usando um polinômio Taylor para e^x com uma = 100:

Para resumir, lembre-se o seguinte:

• Uma série de Taylor convergente expressa o valor exacto de uma função.

• Um polinômio Taylor, T_n(x), A partir de uma série convergente se aproxima do valor de uma função.