Expressando a função sin x como uma série

Se você quiser encontrar o valor aproximado do pecado x, você pode usar uma fórmula para expressá-la como uma série. Esta fórmula exprime a função seno como uma série alternada:

Para dar sentido a esta fórmula, use a notação expandida:

Observe que esta é uma série de potência. Para obter uma rápida noção de como ele funciona, aqui está como você pode encontrar o valor do pecado 0 substituindo 0 para x:

Como você pode ver, a fórmula verifica que você já sabe: o pecado 0 = 0.

Você pode usar esta fórmula para aproximar o pecado x para qualquer valor de x ao maior número de casas decimais como você gosta. Por exemplo, veja o que acontece quando você substituir 1 para x nos quatro primeiros termos da fórmula:

Note-se que o valor real do pecado 1 com seis casas decimais é 0,841471, pelo que esta estimativa é correta para cinco casas decimais - não é mau!

A tabela mostra o valor do pecado 3 aproximada de seis termos. Note-se que o valor real do pecado 3 é de aproximadamente 0,14112, por isso, os seis prazo aproximação está correta com três casas decimais. Mais uma vez, não é mau. No entanto, este não foi tão bom como a estimativa para o pecado 1.

Como exemplo final, a tabela a seguir mostra o valor do pecado 10 aproximado para oito termos. O verdadeiro valor do pecado 10 é de aproximadamente -,54402, então por qualquer padrão esta é uma estimativa pobre. No entanto, se você continuar a gerar termos, esta estimativa continua a ficar melhor e melhor, a qualquer nível de precisão que você gosta. Se você duvida disso, observe que, após cinco termos, as aproximações estão começando a chegar mais perto do valor real.