Como integrar Odd Powers de senos e cossenos

Você pode integrar qualquer função do pecado formam x cosn x quando m é estranho, para qualquer valor real n. Para este procedimento, tenha em mente a identidade sin útil trig2 x + cos2 x = 1. Por exemplo, aqui está como você integrar

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  1. Descolar um pecado x e colocá-lo ao lado do dx:

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  2. Aplique o pecado identidade trig2 x = 1 - cos2 x para expressar o resto dos senos na função como co-senos:

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  3. Use a substituição de variáveis você = cos x e du = -sin x dx:

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Agora que você tem a função em termos de poderes de você, o pior já passou. Você pode expandir a função para fora, transformando-o em um polinômio. Este é apenas álgebra:

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Para continuar, use a regra da soma e Estado múltiplo constante para separar isso em quatro integrais. Não se esqueça de distribuir o sinal de menos para todos os quatro integrais!

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Neste ponto, você pode avaliar cada integrante separadamente usando a Regra de energia:

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Finalmente, usar você = cos x para reverter a substituição de variáveis:

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Observe que quando você substituir trás em termos de x, o poder vai ao lado dos cos em vez de ao lado do x, porque você está levantando todo o cos de função x a uma potência.

Da mesma forma, a integrar qualquer função do pecado formam x cosn x quando n é estranho, para qualquer valor real m. Estes passos são praticamente os mesmos que os do exemplo anterior. Por exemplo, aqui está como você integrar o pecado-4x cos9 x:

  1. Descole a cos x e colocá-lo ao lado do dx:

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  2. Aplicar as cos identidade trig2 x = 1 - sin2 x para expressar o resto dos co-senos na função como senos:

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  3. Use a substituição de variáveis você = sin x e du = cos x dx:

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Neste ponto, você pode distribuir a função e expressá-lo como uma soma de poderes de você.

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