Compreender o intervalo de convergência

Ao contrário da série geométrica e p

-série, uma série de potência frequentemente converge ou diverge com base na sua x valor. Isto leva a um novo conceito quando se lida com séries de potência: o intervalo de convergência.

o intervalo de convergência para uma série de potência é o conjunto de x Os valores para os quais essa série converge.

O intervalo de convergência nunca está vazia

Cada série de potências converge para algum valor de x. Ou seja, o intervalo de convergência para uma série de potência nunca é o conjunto vazio.

Embora este fato tem implicações úteis, é realmente muito bonito um acéfalo. Por exemplo, dê uma olhada no seguinte série de potência:

Quando x = 0, esta série avaliada como 1 + 0 + 0 + 0 + ..., por isso, obviamente, converge para 1. Da mesma forma, dê uma olhada nesta série de potência:

Desta vez, quando x = -5, A série converge a 0, assim como trivialmente como o último exemplo.

Note-se que em ambos os exemplos, a série converge em trivialmente x = uma para uma série de potências centrada em uma.

Três possibilidades para o intervalo de convergência

Existem três possibilidades para o intervalo de convergência de qualquer série de potência:

• A série converge apenas quando x = uma.

• A série converge em algum intervalo (aberta ou fechada em ambas as extremidades) centrado em uma.

• A série converge para todos os valores reais de x.

Por exemplo, suponha que você deseja encontrar o intervalo de convergência para:

Esta série de alimentação está centrada a 0, por isso converge quando x = 0. Usando o teste da razão, você pode descobrir se ela converge para quaisquer outros valores de x. Para começar, configure o seguinte limite:

Para avaliar esse limite, a começar por cancelamento xⁿ no numerador e denominador:

Em seguida, distribuir para remover os parênteses no numerador:

Tal como está, esse limite é da forma

assim aplicar a Regra de L'Hopital, diferenciando sobre a variável n:

A partir deste resultado, o teste da razão diz-lhe que a série:

• Converge quando -1 lt; x lt; 1

• diverge quando x lt; -1 e x > 1

• Pode convergir ou divergir quando x = 1 e x = -1

Felizmente, é fácil ver o que acontece nestes dois casos restantes. Aqui está o que a série parece quando x = 1:

Claramente, a série diverge. Da mesma forma, aqui está o que parece que quando x = -1:

Esta série alternada descontroladamente oscila entre valores negativos e positivos, por isso, também diverge.

Como exemplo final, suponha que você deseja encontrar o intervalo de convergência para a série seguinte:

Esta série é centrada em 0, por isso converge quando x = 0. A verdadeira questão é se ela converge para outros valores de x. Porque esta é uma série alternada, você aplica o teste da razão para a versão positiva do mesmo para ver se você pode mostrar que é absolutamente convergente:

Primeiro, você quer simplificar isso um pouco:

Em seguida, você expandir os expoentes e fatoriais:

Nesta altura, uma grande quantidade de cancelamento é possível:

Desta vez, o limite cai entre -1 e 1 para todos os valores de x. Este resultado diz-lhe que a série converge absolutamente para todos os valores de x, de modo que a série alternada também converge para todos os valores de x.