Integrar funções Quando o denominador contém factores de Quadráticas irredutíveis

Às vezes você não pode levar um denominador todo o caminho até a fatores lineares porque alguns quadráticas são irredutíveis - como números primos, eles não podem ser tidos.

Verifica a discriminante. Você pode facilmente verificar se um quadrática (machado2 + bx + c) É redutível ou não, verificando a sua discriminante, b2 - 4CA. Se o discriminante é negativo, a quadrática é irredutível. Se o discriminante é um quadrado perfeito como 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc., a quadrática pode ser tidos em conta factores como você está acostumado a ver como (2x - 5) (x + 5). A última possibilidade é que o discriminante é igual a um número positivo não-quadrado, como com o quadrática x2 + 10x + 1, por exemplo, que tem um discriminante de 96. Nesse caso, a quadrática pode ser tomada, mas você começa fatores feio envolvendo raízes quadradas. Felizmente, estes problemas são raros.

Usando a técnica de frações parciais com quadráticas irredutíveis é um pouco diferente. Aqui está um problema: Integrar

image0.png

  1. Fator denominador.

    Está feito! Observe que x2 + 4 é irredutível porque a sua discriminante é negativo.

  2. Quebra-se a fração em uma soma de "frações parciais."

    Se você tem um fator quadrático irredutível (como o x2 + 4), o numerador para a fracção parcial precisa de duas incógnitas de capital letras em vez de apenas um. Você escreve-los sob a forma de Px + Q.

    image1.png

  3. Multiplicar ambos os lados desta equação pela esquerda; denominador lado.

    image2.png

  4. Tome as raízes dos fatores lineares e ligá-los - um de cada vez - em x na equação a partir do Passo 3, e em seguida resolver.

    E se x = 0, Se x = 1,

    -4 = -4UMA10 = 5B

    UMA = 1B 2 =

    Você não pode resolver para todas as incógnitas, ligando as raízes dos fatores lineares, então você tem mais trabalho a fazer.

  5. Ligue na equação Passo 3 os valores conhecidos de UMA e B e quaisquer dois valores para x não utilizado no Passo 4 (baixo número de fazer a aritmética mais fácil) para obter um sistema de duas equações em C e D.

    image3.png

  6. Resolver o sistema: 1 = + D -Ce 7 = 2C + D.

    Voce deveria pegar = C 2 e D = 3.

  7. Dividir o integrante original e integrar.

    Usando os valores obtidos nos Passos 4 e 6, UMA = 1, B = 2, C = 2, e D = 3, e a equação da Etapa 2, você pode dividir o integrante original em três partes:

    image4.png

    E com álgebra simples, você pode dividir-se o terceiro integrante da direita em duas partes, resultando na frações parciais final:

    image5.png

    Os dois primeiros integrais são fáceis. Para o terceiro, você usa a substituição com

    image6.png

    O quarto é feito com a regra arco tangente, que você deve memorizar:

Semelhante

menu