Configurando frações parciais Quando você tem fatores distintos

Seu primeiro passo em qualquer problema que envolve frações parciais é reconhecer que caso você está lidando com para que você possa resolver o problema. Um caso em que você pode usar frações parciais é quando o denominador é o produto de distinto

fatores quadrática - isto é, factores que são quadráticas não repetidos.

Para cada fator quadrático distinta no denominador, adicione uma fração parcial da seguinte forma:

Por exemplo, suponha que você deseja integrar esta função:

O primeiro factor no denominador é linear, mas o segundo é quadrática e não pode ser decomposto em elementos lineares. Então configurar suas frações parciais da seguinte forma:

O número de fatores quadrática distintas no denominador informa quantas fracções parcial que você recebe. Assim, neste exemplo, dois fatores no denominador deu duas frações parciais.

Trabalhando sistematicamente com um sistema de equações

A criação de um sistema de equações é um método alternativo para encontrar o valor de desconhecidos quando você está trabalhando com frações parciais. Não é tão simples como ligar as raízes de fatores, mas é a sua única opção quando a raiz de um fator quadrática é imaginário.

Aqui está um problema para ilustrar este método:

Para começar, veja quão longe você pode obter ligando as raízes de equações. Começar por obter um denominador comum no lado direito da equação:

Agora multiplique toda a equação pelo denominador:

5x - 6 = (UMA) (x² + 3) + (Bx + C) (x - 2)

A raiz x - 2 é 2, então vamos x = 2 e ver o que você tem:

Agora você pode substituir

Infelizmente, x² + 3 não tem raiz em números reais, então você precisa de uma abordagem diferente. Em primeiro lugar, livrar-se dos parênteses no lado direito da equação:

Em seguida, combinar termos semelhantes (usando x como a variável pela qual você julga semelhança). Este é apenas álgebra:

Porque esta equação funciona para todos valores de x, agora você pegar o que parece ser um passo questionável, quebrar essa equação em três equações separadas da seguinte forma:

Neste ponto, um pouco de álgebra diz que

Assim, você pode substituir os valores de UMA, B, e C de volta para as frações parciais:

Você pode simplificar a segunda fração um pouco:

fatores quadrática da forma (machado² + C)

Quando você começar com um fator quadrática da forma (machado² + C), Utilizando fracções parciais resulta nos dois integrais seguintes:

Integrar o primeiro usando a substituição de variáveis você = machado² + C de modo a du 2 =machadodx e

Esta substituição resulta na seguinte integral:

aqui estão alguns exemplos:

Para avaliar a segunda integral, utilizar a seguinte fórmula:

fatores quadrática da forma (machado² + bx + C)

A maioria dos professores de matemática têm pelo menos um pingo de piedade em seus corações, para que eles não tendem a dar-lhe problemas que incluem este caso mais difícil. Quando você começar com um fator quadrática da forma (machado² + bx + C), Utilizando fracções parciais resulta na seguinte integral:

Ok, isso é a forma como muitos letras e números não o suficiente. Aqui está um exemplo:

Este é sobre a integrante mais peludo que você está indo cada vez para ver no extremo de uma fração parcial. Para avaliá-lo, você quer usar a substituição de variáveis você = x² + 6x + 13, de modo que du = (2x + 6) dx. Se o numerador foram 2x + 6, você estaria em grande forma. Então, você precisa ajustar o numerador um pouco. Primeiro multiplique por 2 e dividir toda a integral por 2:

Porque você multiplicou toda a integral por 1, sem nenhuma mudança substancial ocorreu. Agora adicione 6 e -6 ao numerador:

Acrescentou 0 para a integral, que não alterou o seu valor. Neste ponto, você pode dividir a integral em dois:

Neste ponto, você pode usar a substituição de variáveis ​​para alterar o primeiro integrante da seguinte forma:

Para resolver o segundo integral, completar o quadrado no denominador: Divida o b prazo (6) por 2 e quadrado, e então representar a C prazo (13) como a soma deste e tudo o que resta:

Agora dividir o denominador em duas praças:

Para avaliar esta integral fórmula, uso mostrado na seção anterior:

Então aqui está a resposta final para a segunda integral:

Portanto, a juntar a resposta completa como se segue: