Configurando frações parciais quando você tem fatores lineares distintos
Seu primeiro passo em qualquer problema que envolve frações parciais é reconhecer que caso você está lidando com para que você possa resolver o problema. O caso mais simples no qual as fracções parciais são úteis quando é o denominador é o produto de distinto fatores lineares - isto é, factores lineares que são não repetidos.
Por exemplo, você pode mudar isso:
para isso:
Tenha em mente que para cada factor linear distinta no denominador, você precisa adicionar uma fração parcial da seguinte forma:
Por exemplo, suponha que você deseja integrar o seguinte expressão racional:
O denominador é o produto de três fatores lineares distintos - x, (x + 2), e (x - 5) - por isso é igual à soma de três fracções com esses fatores como denominadores:
O número de factores lineares distintas no denominador da expressão original determina o número de fracções parciais. Neste exemplo, a presença de três factores no denominador da expressão original produz três fracções parciais.
Você tem duas maneiras de encontrar as incógnitas em uma soma de frações parciais. A maneira mais fácil e rápida é usando as raízes de polinômios. Infelizmente, este método não sempre encontrar todas as incógnitas em um problema, embora muitas vezes encontra alguns deles. A segunda maneira é a criação de um sistema de equações.
Quando uma soma de frações parciais tem fatores lineares distintos, você pode usar as raízes desses fatores lineares para encontrar os valores das incógnitas:
Para encontrar os valores das incógnitas UMA, B, e C, primeiro obter um denominador comum no lado direito desta equação (o mesmo denominador que é no lado esquerdo):
Agora multiplique ambos os lados por esse denominador:
1 = UMA(x + 2) (x - 5) + Bx(x - 5) + Cx(x + 2)
Para encontrar os valores de UMA, B, e C, substituir as raízes dos três factores (0, -2, e 5):
Inserindo esses valores de volta para a equação original dá-lhe:
Esta expressão é equivalente ao que você começou com, mas é muito mais fácil integrar. Para fazer isso, use a regra da soma de quebrá-lo em três integrais, a constante de regra múltipla para mover coeficientes fracionários fora de cada substituição integral, e variáveis para fazer a integração. Aqui está a resposta para que você possa experimentá-lo:
Esta resposta usa K ao invés de C para representar a constante de integração para evitar confusão, porque você já utilizado C nas fracções parciais anteriores.
Quando você começar com um factor linear distinta, usando frações parciais deixa-o com um integrante da seguinte forma:
Integrar usando a substituição de variáveis você = machado + b de modo a du = a dx e
Esta substituição resulta na seguinte integral:
Aqui estão alguns exemplos:
