Como expandir um binômio que contém números complexos

O tipo mais complicado de expansão binomial envolve o número complexo Eu, porque você não está apenas lidando com o teorema binomial mas lidar com números imaginários bem. Ao levantar números complexos a uma potência, note que Eu1 = I, Eu2 = -1, Eu3 = -Eu, e Eu4 = 1. Se você tiver poderes superiores, este padrão se repete: Eu5 = Eu, Eu6 = -1, Eu7 = -Eu, e assim por diante. Porque poderes do número imaginário Eu pode ser simplificada, a sua resposta final para a expansão não deve incluir poderes de Eu. Em vez disso, use as informações dadas aqui para simplificar os poderes de Eu e, em seguida, combinar os seus termos como.

Por exemplo, para expandir (1 + 2Eu)8, Siga esses passos:

  1. Escrever para fora a expansão binomial usando o teorema binomial, substituindo para as variáveis, quando necessário.

    Caso você tenha esquecido, aqui é o teorema binomial:

    image0.png

    Utilizando o teorema, (1 + 2Eu)8 expande a

    image1.png

  2. Encontre os coeficientes binomial.

    Para fazer isso, você pode usar a fórmula para a expansão binomial, que é escrito da seguinte forma:

    image2.png

    Você pode recordar o termo fatorial de suas aulas de matemática anteriores. Se não, aqui é um lembrete: n!, onde se lê "n factorial," é definido como

    image3.png

    Usando a fórmula combinação dá-lhe o seguinte:

    image4.png

  3. Substitua tudo

    image5.png

  4. com os coeficientes da Etapa 2.

    1 (1)8(2Eu)0 + 8 (1)7(2Eu)1 + 28 (1)6(2Eu)2 + 56 (1)5(2Eu)3 + 70 (1)4(2Eu)4 + 56 (1)3(2Eu)5 + 28 (1)2(2Eu)6 + 8 (1)1(2Eu)7 + 1 (1)0(2Eu)8

  5. Levante as monomios dos poderes especificados para cada termo.

    1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4I2) + 56 (1) (8i3) + 70 (1) (16i4) + 56 (1) (32i5) + 28 ( 1) (64i6) + 8 (1) (128i7) + 1 (1) (256i8)

  6. Simplifique qualquer Eu'S que você pode.

    1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4) (- 1) + 56 (1) (8) (- i) + 70 (1) (16) (1) + 56 (1) (32) (i) + 28 (1) (64) (- 1) + 8 (1) (128) (- i) + 1 (1) (256) (1)

  7. Combine como termos e simplificar.

    1 + 16i - 112 - 448i + 1.120 + 1,792i - 1.792 - 1,024i + 256

    = -527 + 336i

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