Encontrar a área entre duas funções

Para encontrar uma área entre duas funções, você precisa configurar uma equação com uma combinação de integrais definidas de ambas as funções. Por exemplo, suponha que você deseja calcular a área sombreada entre y = x² e

como mostrado nesta figura.

Primeiro, observe que as duas funções y = x²e

se cruzam, onde x = 1. Esta informação é importante porque permite que você configure duas integrais definidas para ajudar a encontrar região A:

Embora nem equação dá-lhe a informação exata que você está procurando, juntos, eles ajudá-lo. Apenas subtrair a segunda equação da primeira como se segue:

Com o problema configurado corretamente, agora tudo que você tem a fazer é avaliar as duas integrais:

Assim, a área entre as duas curvas é

Como outro exemplo, suponha que você quer encontrar a área entre y = x e

como mostrado nesta figura.

Desta vez, a área sombreada é duas regiões separadas, identificado como A e B. A região A é limitado superiormente pela

e delimitada abaixo pela y = x. No entanto, para a região B, a situação é inversa, ea região é limitada acima por y = x e delimitada abaixo pela

Regiões C e D também são rotulados, uma vez que ambos figurar no problema.

O primeiro passo é importante encontrar onde as duas funções intersectam - isto é, quando a seguinte equação for verdadeira:

Felizmente, é fácil ver que x = 1 satisfaz esta equação.

Agora você quer construir algumas integrais definidas para ajudar a encontrar as áreas da região A e região B. Aqui são dois que podem ajudar com a região A:

Observe que a segunda integral definida é avaliada sem cálculo, utilizando a geometria simples. Isso é perfeitamente válido e uma grande economia de tempo.

Subtraindo a segunda equação da primeira proporciona uma equação para a área da região A:

Agora construir duas integrais definidas para ajudar você a encontrar a área da região B:

Desta vez, a primeira integral definida é avaliada usando a geometria em vez do cálculo. Subtraindo a segunda equação do primeiro dá uma equação para a área da região B:

Agora você pode configurar uma equação para resolver o problema:

Neste ponto, você é forçado a fazer algum cálculo:

O resto é apenas aritmética: