Curvas de passagem: Encontrando as intersecções das Parábolas e círculos

Quando uma parábola e círculo se cruzam, as possibilidades para o encontro são muitos e variados. As duas curvas podem se cruzam em até quatro pontos diferentes, ou talvez três, ou apenas dois ou mesmo apenas um ponto.

Manter suas opções abertas e estar alerta para tantas soluções comuns quanto possível (à direita - até quatro). E, sim, o sistema pode não ter nenhuma solução. As curvas podem perder completamente um ao outro.

Para esses problemas, você normalmente se voltam para substituição. No entanto, você não tem que definir uma das equações igual a x ou y por si próprio. Você pode resolver uma equação para 4x ou (y - 3)² ou algum outro termo que aparece na outra equação. Enquanto os termos correspondentes, você pode trocar um valor para o outro.

Exemplos de perguntas

1. Encontrar as soluções comuns do círculo (x - 2)² + (y - 2)² = 4 e 2 a parábolay = x² - 4x + 4.

   (0, 2), (2, 0), (4, 2). Reescrever a equação da parábola como 2y = (x - 2)². Em seguida, substituir o (x- 2)² prazo na primeira equação com doisy e simplificar: 2y + (y - 2)² 4- = 2y + y² - 4y + 4 = 4- y² - 2y = 0.

   Fator os termos à esquerda para chegar y(y - 2) = 0. Assim, y = 0 ou y = 2. Letting y = 0 na equação da parábola, você tem 2 (0) = x² - 4x + 4, ou 0 = (x - 2)². Então quando y = 0, x = 2.

   Em seguida, vamos y = 2 na equação parábola. Você ganha 2 (2) = x² - 4x + 4- 4 = x² - 4x + 4- 0 = x² - 4x. Factoring, 0 = x(x - 4), assim x = 0 ou x = 4. Quando y = 2, x = 0 ou 4.

2. Encontrar as soluções comuns de x² + y² = 100 e y² + 6x = 100.

   (0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). Resolvendo a segunda equação para y², você começa y² = 100-6x. Substitua o y² na primeira equação com o seu equivalente para conseguir x² + 100-6x = 100.

   Simplificar e factoring, a equação torna-se x² - 6x = x(x - 6) = 0. Assim x = 0 ou x = 6. Substituir x com 0 na equação da parábola, y² = 100- y = 10 +/-. substituindo x com 6 na equação da parábola, y² + 36 = 100- y² = 64 y = +/- 8.

questões práticas

1. Encontrar as soluções comuns de x² + y² = 25 e x² + 4y = 25.

2. Encontrar as soluções comuns de x² + y² = 9 e 5x² - 6y = 18.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é (5, 0), (-5, 0), (3, 4), (-3, 4).

   Resolver a segunda equação para x² (Chegar x² = 25-4y) E substituir o x² na primeira equação com o seu equivalente. A nova equação lê 25-4y + y² = 25. Simplificando, você começa y² - 4y = 0.

   Esta equação fatores em y(y - 4) = 0. As duas soluções são y = 0 e y = 4. Volte para a segunda equação, a equação da parábola, porque tem apenas um quadrado prazo (que tem expoentes mais baixas, de modo a escolher esta equação permite evitar soluções estranhas).

   Substitua o y nessa equação com 0 para obter x² + 4 (0) = 25- x² = 25. Essa equação tem duas soluções: x = 5 ou x = -5. Agora, voltando e substituindo o y com 4 na equação da parábola, x² + 4 (4) = 25- x² + 16 = 25- x² = 9.

   Esta equação também tem duas soluções: x = 3 ou x = -3. Emparelhar-se a y'S e a sua respectiva x'S, você tem as quatro soluções diferentes. O círculo e parábola se cruzam em quatro pontos distintos.

2. A resposta é

   

   (0, -3).

   eliminar a x termos: multiplicar os termos da primeira equação por -5 (o que lhe dá -5x² - 5y²= -45) E adicione as duas equações juntos. A equação resultante é -5y² - 6y = -27.

   Reescrever a equação, fixando-a igual a 0 e fator. Você começa 0 = 5y² + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Utilizar a propriedade de multiplicação de zero a resolver para as duas soluções desta equação. substituindo o y na segunda equação (a equação da parábola) com

   

   você começa

   

   Em seguida, dividir ambos os lados da equação por 5 e tirar a raiz quadrada de cada lado:

   

   Para encontrar a outra solução, deixe o y na equação da parábola ser igual a -3. Você ganha 5x² - 6 (-3) = 18- 5x² + 18 = 18- 5x² = 0. Assim, x = 0. O círculo e parábola se cruzam ou toque em três pontos distintos.