Resolução de Sistemas de Equações em Álgebra

Na maioria dos casos, uma equação algébrica é solúvel apenas quando um valor é desconhecido - isto é, quando a equação tem apenas uma variável. Em casos raros, pode resolver uma equação com duas ou mais variáveis, pois uma variável cai fora. Por exemplo:

Neste ponto, você pode subtrair 2xy a partir de ambos os lados da equação:

Na maioria dos casos, no entanto, uma equação com duas ou mais variáveis ​​tem várias soluções. Para resolvê-lo para valores específicos de duas variáveis, você precisa de uma equação adicional - ou seja, um sistema de duas equações.

Substituindo para resolver um sistema de equações

Quando um sistema de equações é simples, a maneira mais fácil de resolver isso é por substituição. Por exemplo:

x + 3 = y

3x + y 7 =

A primeira equação diz que o valor de y em termos de x é x + 3. Para resolver este sistema, substituto x + 3 para y na segunda equação:

Agora, esta equação tem apenas uma variável, para que possa resolvê-lo:

Para encontrar o valor de y, substituir um por x de volta em qualquer uma das equações originais - escolher o mais fácil dos dois:

Portanto, neste sistema de equações, x = 1 e y = 4. Aqui está outro exemplo usando três variáveis:

x + y = z

x = 2 + y

3y 2 =z

Neste sistema, a segunda equação diz que x é igual a 2 + y, assim substituir 2 + y para x na primeira equação e simplificar:

Agora, você sabe que z é igual a 2 + 2y, assim que esta substituição para z na terceira equação, em seguida, para resolver y:

Assim, y = -4. Substituir esse valor de volta para a segunda equação:

Assim, x = -2. Você também pode substituir -4 para y na terceira equação para encontrar o valor de z:

Portanto, neste sistema de equações, x = -2, y = -4, E z = -6.

Combinando as equações para resolver um sistema de equações

Substituição funciona bem para resolver sistemas de equações, quando as equações são no lado simples. Mas quando equações ficam mais complicadas, a melhor maneira para resolver sistema é através da combinação de equações. Por exemplo:

12x - 9y = 37

8x + 9y = 23

Nem equação nesse sistema faz limpar o valor de uma variável em termos de outra, tornando a substituição difícil. Para resolver este sistema mais facilmente, adicionar as duas equações como se segue:

A equação resultante, 20x = 60 é muito simples de resolver:

x = 3

Agora, substituir esse valor para x em qualquer equação, o que parece mais simples:

Portanto, neste sistema de equações, x = 3 e

Em alguns casos, quando você usar este método para resolver um sistema de equações, você pode precisar de multiplicar uma ou ambas as equações por uma constante a fim de fazer uma gota variável fora do sistema, como no exemplo anterior. Por exemplo:

2x + 3y = 33

5x + 4y = 58

Neste caso, adicionando ou subtraindo as duas equações não vai fazer uma variável cair fora. Então, você quer atingir uma variável que você gostaria de ver cair fora das duas equações quando está adicionado ou subtraído. Para fazer o x variável abandono, primeiro multiplicar a primeira equação por 5, que é o x coeficiente na segunda equação:

10x + 15y = 165

5x + 4y = 58

Em seguida, multiplicar a segunda equação 2, que é a x coeficiente na primeira equação:

10x + 15y = 165

10x + 8y = 116

Observe agora que as duas equações compartilhar o prazo de 10x. Assim, você pode subtrair a primeira equação menos o segundo como se segue:

A equação resultante, setey = 49, resolve facilmente como se segue:

y 7 =

Para resolver x, substituir 7 para y em qualquer das equações originais parece mais fácil de trabalhar com:

Portanto, neste sistema de equações, x = 6 e y = 7.