Sistemas com três equações lineares

Quando se trabalha com sistemas de equações, você pode resolver para uma variável de cada vez. Assim, se uma terceira equação linear vem (trazendo, naturalmente, a sua variável z

), Bem, três é demais. No entanto, você pode facilmente lidar com todas as variáveis, desde que você abordar um de cada vez.

Você resolver sistemas de três (ou mais) equações lineares usando o método de eliminação:

1. Começando com três equações, eliminar uma variável para criar duas equações com duas variáveis ​​restantes.

   Emparelhar pela primeira equação com a segunda, a segunda com a terceira, ou o primeiro com o terceiro para eliminar uma das variáveis. Em seguida, escolha um emparelhamento diferente e eliminar a mesma variável.

2. A partir dessas duas novas equações, eliminar uma segunda variável que você pode resolver para o que permanece.

3. Substituir de volta para as outras equações para encontrar os valores das outras variáveis.

   Ligue a primeira variável que você resolveu por em uma das equações de duas variáveis ​​que você encontrou na etapa 1. Em seguida, resolver para a terceira variável, ligando os valores conhecidos em uma das equações originais.

pergunta amostra

1. Encontrar a solução comum do sistema de equações x + 5y - 2z = 2, 4x + 3y + 2z = 2, e 3x - 3y - 5z = 38.

   x= 4, y = -2, z = -4 - Também escrito como o ordenou triplo (4, -2, -4). Você pode optar por eliminar qualquer uma das três variáveis, mas há normalmente um bom-melhor-best-pior-pior decisão que pode ser feito.

   Em este problema, a melhor escolha é eliminar a x variável. o x variável tem o único coeficiente de 1 em todas as equações. Você olha para um 1 ou -1 ou para múltiplos do mesmo número nos coeficientes de uma única variável.

   Fazer dois pares de eliminação. Multiplique a primeira equação por -4 e adicioná-lo à segunda equação:

   

   Para o segundo emparelhamento, multiplique a primeira equação por -3 e adicioná-lo à terceira equação:

   

   Em seguida, adicione as duas equações que resultam (depois multiplicar a segunda equação por -10 para que possa eliminar o z'S):

   

   Dividir cada lado da equação por 163 para obter y = -2. Substitua o y em -18y + z = 32 com o -2, e você começa -18 (-2) + z = 32- 36 + z = 32 z = -4.

   Agora pegue os valores para y e z e colocá-los em qualquer uma das equações originais para resolver x. você começa x + 5 (-2) - 2 (-4) = 2- x - 10 + 8 = 2- x - 2 = 2- x = 4.

questões práticas

1. Encontrar a solução comum do sistema de equações 3x + 4y - z = 7, 2x - 3y + 3z = 5, e x + 5y - 2z = 0.

2. Encontrar a solução comum do sistema de equações 8x + 3y - 2z = -2, x - 3y + 4z = -13, E seisx + 4y - z = -3.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é x = 4, y = -2, z = -3.

   Eliminar x'S multiplicando a terceira equação por -3 e adicioná-lo ao primeiro equation- você começa -11y + 5z = 7. Em seguida, eliminar x'S em uma outra combinação multiplicando a terceira equação original de -2 e adicioná-lo para o segundo equation- você começa -13y + 7z o governo de = 5. Use Cramer sobre estas duas equações resultantes:

   

   Agora para substituir -2 y e -3 para z na terceira equação original para resolver x. você começa x + 5 (-2) - 2 (-3) = 0- x - 10 + 6 = 0- x - 4 = 0- x = 4.

2. A resposta é x = -1, y = 0, z = -3.

   Eliminar z'S multiplicando-se o primeiro por equação 2 e adicionando-o à segunda equação para obter 17x + 3y = -17. em seguida, eliminar z'S em uma outra combinação multiplicando a terceira equação por 4 e adicioná-lo à segunda equation- você obtém 25x + 13y = -25. Use a regra de Cramer sobre estas duas equações resultantes:

   

   agora substituir x = -1 E y = 0 na terceira equação original para obter 6 (-1) + 4 (0) - z = -3 -6 - z = -3 -z = 3- z = -3.