Como encontrar os valores e vectores próprios para degenerados Hamiltonians

Usando a física quântica, é possível determinar a f valores e vetores próprios correspondentes para sistemas em que as energias são degenerados. Dê uma olhada neste Hamiltonian imperturbável:

Em outras palavras, vários estados têm a mesma energia. Dizem os estados de energia são f-dobre degenerada, como este:

Como isso afeta a imagem de perturbação? O Hamiltonian completa, H, é composta pelo hamiltoniano original, imperturbável, H₀, eo hamiltoniano perturbação,

Na aproximação de ordem zero, você pode escrever o eigenfunction

como uma combinação de estados de degenerados

Note-se que no que se segue, supor que você

E se m não é igual n. Além disso, você assumir que a

são normalizados - isto é,

Conectando esta equação de ordem zero na equação Hamiltonian completa, você começa

Agora multiplicando essa equação por

da-te

Usando o facto

E se m não é igual n da-te

Os físicos muitas vezes escrever essa equação como

Onde

E as pessoas também escrever essa equação como

onde E⁽¹⁾_n = E_n - E⁽⁰⁾_n. Esse é um sistema de equações lineares, e a solução só existe quando o determinante para essa matriz é não nulos:

O determinante dessa matriz é uma fequação de grau th em E⁽¹⁾_n, e possui f diferentes raízes,

Essa f diferentes raízes são as correções de primeira ordem para a Hamiltoniana. Normalmente, essas raízes são diferentes por causa da perturbação aplicada. Em outras palavras, a perturbação normalmente se livrar da degeneração.

Então aqui está a maneira de encontrar os valores próprios para a primeira ordem - você configura uma f-de-f matriz do Hamiltonian perturbação,

Então diagonalizar esta matriz e determinar o f eigenvalues

e os autovetores correspondentes:

Então você começa os valores próprios de energia a primeira ordem da seguinte maneira:

E os vectores próprios são