Como trabalhar com Autovetores e valores próprios

Na física quântica, quando se trabalha com TFE, é útil saber como usar autovetores e autovalores. Aplicando um operador a uma KET pode resultar numa nova KET:

Para facilitar as coisas, você pode trabalhar com autovetores e autovalores (eigen é alemão para # 147-inata # 148- ou # 147 natural # 148-). Por exemplo,

é um vector próprio do operador A se

• O número uma é uma constante complexo

  

Observe o que está acontecendo aqui: aplicação de um a um dos seus vectores próprios,

multiplicado por esse vector próprio da autovalor, uma.

Apesar uma pode ser uma constante complexo, os valores próprios de operadores hermitianas são números reais, e os seus vectores próprios são ortogonais

Lançando um problema em termos de autovetores e autovalores pode tornar a vida muito mais fácil, porque a aplicação do operador aos seus vectores próprios simplesmente dá-lhe a mesma eigenvector volta, multiplicado pelo seu valor próprio - não há nenhuma mudança traquina de Estado, para que você não tem que lidar com um vetor de estado diferente.

Dê uma olhada nesta idéia, usando o operador R partir rolando os dados, que é expresso desta forma, em forma de matriz:

O operador R trabalha no espaço de 11 dimensões e é Hermitian, então haverá 11 autovetores ortogonais e 11 valores próprios correspondentes.

Uma vez que o símbolo R representa uma matriz diagonal, encontrar os vectores próprios é fácil. Você pode tomar vetores unitários nas 11 direções diferentes como os vectores próprios. Aqui está o que o primeiro vector próprio,

seria algo como:

E aqui está o que o segundo vector próprio,

seria algo como:

E assim por diante, até

Note-se que todos os autovetores são ortogonais.

E os valores próprios? Eles são os números que você começa quando você aplica o operador R para um vector próprio. Porque os vectores próprios são apenas vetores unitários em todas as 11 dimensões, os valores próprios são os números na diagonal da matriz R: 2, 3, 4, e assim por diante, até 12.