Como encontrar os Autovetores e valores próprios de um Operador

Na física quântica, se você está dado um operador em forma de matriz, você pode encontrar seus autovetores e autovalores. Por exemplo, digamos que você precisa para resolver a seguinte equação:

Primeiro, você pode reescrever essa equação como a seguinte:

I representa a matriz identidade, com 1s ao longo de sua diagonal e 0s de outra forma:

Lembre-se que a solução para

só existe se o determinante da matriz A - umaI é 0:

det (A - umaI) = 0

Como encontrar os valores próprios

Quaisquer valores de uma que satisfazem a equação det (A - umaI) = 0 são autovalores da equação original. Tente encontrar os valores e vectores próprios da seguinte matriz:

Em primeiro lugar, converter a matriz na forma A - umaEU:

Em seguida, encontrar o determinante:

E isso pode ser tido como segue:

Você sabe que det (A - umaI) = 0, de modo que os valores próprios de A são as raízes desta equation- ou seja, uma₁ = -2 E uma₂ = -3.

Como encontrar os autovetores

Como sobre encontrar os autovetores? Para encontrar o autovetor correspondente a uma₁, substituto uma₁ - o primeiro valor próprio, -2 - para a matriz sob a forma A - umaEU:

Então você tem

Porque cada linha dessa equação da matriz deve ser verdade, você sabe que

E isso significa que, até uma constante arbitrária, o autovetor correspondente a uma₁ é a seguinte:

Largue a constante arbitrária, e apenas escrever isso como uma matriz:

Como sobre o autovetor correspondente a uma₂? Tapar uma₂, -3, para dentro da matriz em A -umaEu formo, obtém o seguinte:

Então você tem

E isso significa que, até uma constante arbitrária, o autovetor correspondente a uma₂ é

Largue a constante arbitrária:

Assim, os valores próprios deste operador matriz

estamos uma₁ = -2 E uma₂ = -3. E o próprio correspondendo a uma₁ é

O próprio correspondendo a uma₂ é