Descrever os circuitos de segunda ordem com a segunda ordem Equações Diferenciais

Se você pode usar uma equação diferencial de segunda ordem para descrever o circuito que você está olhando, então você está lidando com um circuito de segunda ordem. Circuitos que incluem um indutor, condensador, e uma resistência ligados em série ou em paralelo, são circuitos de segunda ordem. Aqui estão os circuitos de segunda ordem impulsionado por uma fonte de entrada, ou função de força.

Obtendo uma solução única para uma equação diferencial de segunda ordem exige saber os estados iniciais do circuito. Para um circuito de segunda ordem, você precisa saber a tensão do capacitor inicial e a corrente do indutor inicial. Conhecendo esses estados no tempo t = 0 fornece uma solução única para todos os vez após vez t = 0.

Use estas etapas na resolução de uma equação diferencial de segunda ordem para um circuito de segunda ordem:

1. Localizar a resposta de entrada zero, definindo a fonte de entrada a 0, de tal modo que a saída só é devido às condições iniciais.

2. Localizar a resposta de estado zero ajustando as condições iniciais igual a 0, de tal modo que a saída é devida apenas ao sinal de entrada.

   Zero condições iniciais significa que você tem 0 tensão do capacitor inicial e 0 corrente do indutor inicial.

   A resposta de estado zero exige que você para encontrar as soluções homogêneas e particulares:

3. solução homogénea: Quando não há sinal de entrada ou forçando função - isto é, quando v_T(t) = 0 ou Eu_N(t) = 0 - você tem a solução homogénea.

4. solução particular: Quando você tem uma entrada diferente de zero, a solução segue a forma do sinal de entrada, dando-lhe a solução particular. Por exemplo, se a sua entrada é uma constante, então a sua solução particular também é uma constante. Da mesma forma, se você tem uma condição sine ou função cosseno como uma entrada, então a saída é uma combinação de funções seno e cosseno.

5. Adicione-se as respostas de entrada zero e em estado de zero para obter a resposta total.

   Porque você está lidando com circuitos lineares, que pretende utilizar superposição para encontrar a resposta total.

Para encontrar a resposta total para uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, primeiro você deve encontrar a solução homogénea usando uma equação característica algébrica e assumir as soluções são funções exponenciais. As raízes da equação característica dar-lhe as constantes encontrados no expoente da função exponencial.

Suposição em uma solução elementar: A função exponencial naturais

Esta é apenas uma abordagem para resolver circuitos de segunda ordem. A boa notícia é que ele converte um problema envolvendo uma equação diferencial para um que utiliza apenas álgebra.

Considere a seguinte equação diferencial como um exemplo numérico com zero de função de força v_T(t) = 0:

A solução para esta equação diferencial é chamada a solução homogénea v (t). Uma abordagem clássica implica dar o seu melhor tiro em adivinhar a solução. Experimentar v (t) = E^kt. A função exponencial trabalha para uma equação de primeira ordem, assim que deve funcionar para uma equação de segunda ordem, também.

Quando você toma a derivada da exponencial naturais e^kt, você terá a mesma coisa multiplicada por uma constante k. Você vê como a função exponencial é o seu verdadeiro amigo na resolução de equações diferenciais como este.

A partir do cálculo de álgebra: Usando a equação característica

Para resolver uma equação diferencial homogénea, você pode converter a equação diferencial em uma equação característica, que pode resolver usando álgebra. Para fazer isso, substituindo o seu palpite v (t) = E^kt de mais cedo na equação diferencial homogênea:

factoring e^kt leva você a uma equação característica:

(k² + 5k +6)e^kt = 0

O coeficiente de e^kt deve ser 0, para que possa resolver para k do seguinte modo:

k² + 5k + 6 = 0

k = -2. -3

Definindo a equação algébrica a 0 dá-lhe uma equação característica. As raízes constantes -2 e -3 determinar as características da solução de v (t).

A partir dessas raízes, você obtém uma solução homogénea que é uma combinação das soluções e^-2t e e^-3t:

v (t) = C₁e^-2t + c₂e^-3t

as constantes c₁ e c₂ são determinadas pelas condições iniciais quando t = 0.