Encontrar as respostas Zero-entrada e Zero-estatais de Circuito RC Series

Para encontrar a resposta total de um circuito série RC, você precisa encontrar a resposta de entrada zero ea resposta de estado zero e, em seguida, adicioná-los juntos. Um circuito em série RC de primeira ordem tem uma resistência (ou da rede de resistências) e um condensador ligado em série.

Aqui é um circuito RC série divididos em dois circuitos. O diagrama superior direito mostra a resposta de entrada zero, o que você começa definindo a entrada para 0. O diagrama inferior direito mostra a resposta de estado zero, o que você começa definindo as condições iniciais para 0.

Primeiro você quer encontrar a resposta de entrada zero para o circuito série RC. O diagrama superior direito aqui mostra o sinal de entrada v_T(T) igual a 0. tensão Zero-entrada significa que você tem zero. . . nada. . . fecho eclair . . . entrada para todos os tempos. A resposta de saída é devido à condição inicial V₀ (Tensão do condensador inicial) no momento t = 0. A equação diferencial de primeira ordem reduz a

Aqui, v_ZI(T) é a tensão do condensador. Para definir uma fonte de entrada para 0 volt como mostrado aqui, a tensão do condensador é chamado um resposta de entrada zero ou resposta livre. Sem forças externas (tais como uma bateria) está actue sobre o circuito, com excepção para o estado inicial da tensão do condensador.

Você pode razoavelmente supor que a solução é a função exponencial (você pode controlar e verificar a solução depois). Tenta um exponencial porque a derivada do tempo de um exponencial também é uma exponencial. Substituto que acho que na equação circuito RC de primeira ordem:

v_ZI(T) = Ae^kt

o UMA e k são constantes arbitrárias da resposta de entrada zero. Agora substituir a solução de v_ZI(T) = Ae^kt na equação diferencial:

Você obtém uma equação algébrica característica depois de definir a equação igual a 0 e factoring Ae^kt:

Ae^kt(1 + RCK) = 0

A equação característica dá-lhe um problema muito mais simples. O coeficiente de e^kt tem que ser 0, então você apenas resolver para a constante k:

Quando voce tem k, tiver a resposta de entrada zero v_ZI(T). utilização k = -1 / RC, você pode encontrar a solução para a equação diferencial para a entrada de zero:

Agora você pode encontrar a constante UMA por aplicação da condição inicial. No tempo t = 0, a tensão inicial é V₀, o que lhe dá

a constante UMA é simplesmente a voltagem inicial V₀ nos terminais do condensador.

Finalmente, tem a solução para a tensão do condensador, que é a resposta de entrada zero v_ZI(T):

O termo constante RC nesta equação é chamado o tempo constante. A constante de tempo fornece uma medida de quanto tempo um capacitor foi descarregada ou carregada. Neste exemplo, o condensador começa em algum estado inicial de tensão V₀ e dissipa silenciosamente no esquecimento para outro estado de 0 volts.

supor RC = 1 segundo e tensão inicial V₀ = 5 volts. Este circuito amostra traça o declínio exponencial, demonstrando que leva cerca de 5 constantes de tempo, ou 5 segundos, para que a tensão do capacitor a decair a 0.

Encontrar a resposta de estado zero, incidindo sobre a fonte de entrada

resposta ao zero-state significa zero condições iniciais, e que exige encontrar a tensão do capacitor quando há uma fonte de entrada, v_T(T). Você precisa encontrar as soluções homogêneas e particulares para obter a resposta de estado zero. Para encontrar condições iniciais nulas, você olha para o circuito quando não há tensão no capacitor no momento t = 0.

O circuito na parte inferior direita do circuito de amostra tem condições iniciais nulas e uma tensão de entrada de V_T(T) = U (t), Onde U (t) é uma entrada em degrau unidade.

Matematicamente, você pode descrever a função etapa U (t) Como

O sinal de entrada é dividido em dois intervalos de tempo. Quando t lt; 0, U (t) = 0. A equação diferencial de primeira ordem se torna

Você já encontrou a solução antes do tempo t = 0, porque v_h(T) é a solução da equação homogénea:

Você determina a constante arbitrária c₁ depois de encontrar a solução particular e aplicando a condição inicial V₀ de 0 volts.

Agora, encontrar a solução particular vp (t) quando U (t) = 1 depois t = 0.

depois de um tempo t = 0, uma entrada em degrau unidade descreve o comportamento tensão transitória através do capacitor. A tensão do capacitor reagir a uma entrada em degrau é chamado de resposta ao degrau.

Para uma entrada em degrau v_T(T) = U (t), você tem uma equação diferencial de primeira ordem:

Você já sabe que o valor da etapa U (t) é igual a 1 após t = 0. Substituto U (t) = 1 na equação precedente:

Resolva para a tensão do capacitor v_p(T), que é a solução particular. A solução particular depende sempre do sinal de entrada real.

Uma vez que a entrada é uma constante depois t = 0, a solução particular v_p(T) assume-se que seja uma constante V_UMA também.

A derivada de uma constante é 0, o que implica o seguinte:

agora substituir v_p(T) = V_UMA e seu derivado na equação diferencial de primeira ordem:

Depois de um período relativamente longo de tempo, a solução particular, segue a entrada em degrau com força unidade V_UMA = 1. De um modo geral, uma entrada em degrau com força V_UMA ou V_UMAU (t) conduz a um condensador de tensão V_UMA.

Depois de encontrar as soluções homogêneas e particulares, você somar as duas soluções para obter a resposta de estado zero v_ZS(T). você encontra c₁ aplicando a condição inicial é igual a 0.

Somando-se a solução homogénea e a solução particular, você tem v_ZS(T):

v_ZS(T) = v_h(T) + v_p(T)

Substituindo as soluções homogêneas e particulares lhe dá

em t = 0, a condição inicial é v_c(0) = 0 para a resposta de estado zero. agora você calcular v_ZS(0) Como

Em seguida, resolver para c₁:

c₁= -V_UMA

Substituto c₁ na equação de estado de zero para produzir a solução completa da resposta de estado zero v_ZS(T):