Analisar uma segunda ordem RLC Circuito Paralelo Usando Duality

De segunda ordem circuitos RLC tem um resistor, indutor, e condensador ligado em série ou em paralelo. Para analisar um circuito paralelo de segunda ordem, você segue o mesmo processo para analisar um circuito RLC série.

Aqui está um exemplo circuito paralelo RLC. O diagrama da esquerda mostra uma entrada Eu_N com corrente do indutor inicial Eu₀ e tensão do capacitor V₀. O diagrama superior direito mostra a fonte de corrente de entrada Eu_N igual a zero, o que permite que você resolver para a resposta de entrada zero. O diagrama inferior direito mostra as condições iniciais (Eu₀ e V₀) Igual a zero, o que lhe permite obter a resposta de estado zero.

Com a dualidade, você substituir cada termo elétrica em uma equação com a sua dupla ou homólogo, e obter uma outra equação correta. Por exemplo, tensão e corrente são variáveis ​​duais.

Configurar um circuito paralelo RLC típica

Porque os componentes do circuito paralelo de exemplo mostrado anteriormente são conectados em paralelo, você configura a equação diferencial de segunda ordem usando lei das correntes de Kirchhoff (KCL). KCL diz que a soma das correntes de entrada é igual à soma das correntes de saída a um nó. Usando KCL no Nó A do circuito de amostra dá-lhe

Eu_N(T) = I_R(T) + I_C(T) + I_eu(T)

Em seguida, coloque a corrente resistor e corrente do capacitor em termos da corrente do indutor. A corrente resistor Eu_R(T) baseia-se na idade, fiável lei de Ohm:

O elemento de restrição de um indutor é dada como

O atual Eu_eu(T) é a corrente no indutor, e eu é a indutância. Esta restrição significa uma corrente variável gera uma tensão de indutor. Se a corrente do indutor não muda, não há nenhuma tensão indutor, o que implica um curto-circuito.

dispositivos paralelos têm a mesma tensão v (t). Você usa a tensão do indutor v (t) que é igual à tensão do capacitor para obter a corrente do capacitor Eu_C(T):

agora substituir v (t) = Ldi_eu(T) / dt em lei de Ohm, porque você também tem a mesma tensão sobre o resistor e indutor:

Substituir os valores de Eu_R(T) e Eu_C(T) na equação KCL para dar-lhe as correntes do dispositivo em termos da corrente do indutor:

O circuito RLC em paralelo é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem, de modo que o circuito é um circuito de segunda ordem. O desconhecido é a corrente do indutor Eu_eu(T).

A análise do circuito paralelo do RLC segue ao longo das mesmas linhas que o circuito série RLC. Comparar a equação anterior com esta equação de segunda ordem derivada da série RLC:

As duas equações diferenciais têm a mesma forma. A solução não é conhecida para o circuito RLC em paralelo, é a corrente no indutor, e o desconhecido para o circuito série RLC é a tensão do condensador. Estas incógnitas são variáveis ​​duais.

Com dualidade, você pode substituir cada termo elétrica em uma equação com sua dupla e obter uma outra equação correta. Se você usar a seguinte substituição de variáveis ​​na equação diferencial para o circuito série RLC, você começa a equação diferencial para o circuito paralelo do RLC.

Dualidade permite simplificar a sua análise quando você sabe que resultados anteriores. Yippee!

Localizar a resposta de entrada zero

Os resultados obtidos por um circuito paralelo RLC são semelhantes as que você recebe para o circuito série RLC. Para um circuito paralelo, você tem uma segunda ordem e equação diferencial homogénea dada em termos da corrente do indutor:

A equação anterior dá-lhe três casos possíveis sob o radical:

As respostas de entrada zero das respostas do indutor se assemelham a forma mostrada aqui, que descreve a tensão do condensador.

Quando voce tem k₁ e k₂, tiver a resposta de entrada zero Eu_ZI(T). A solução dá-lhe

Você pode encontrar as constantes c₁ e c₂ utilizando os resultados encontrados no circuito série RLC, que são dadas como

Aplicar dualidade à equação anterior, substituindo a tensão, corrente e indutância com seus duais (corrente, tensão e capacitância) para obter c₁ e c₂ para o circuito paralelo RLC:

Depois de conectar as duas variáveis, encontrar as constantes c₁ e c₂ é fácil.

Chegar à resposta de estado zero

resposta ao zero-state significa zero condições iniciais. Você precisa encontrar as soluções homogêneas e particulares da corrente do indutor quando há uma fonte de entrada Eu_N(T). Zero condições iniciais significa olhar para o circuito quando há 0 indutor atual e 0 tensão do capacitor.

Quando t lt; 0, U (t) = 0. A equação diferencial de segunda ordem torna-se o seguinte, onde Eu_eu(T) é a corrente no indutor:

Para uma entrada em degrau, onde U (t) = 0 antes do tempo t = 0, a solução homogénea ih (t) é

Adição da solução homogênea para a solução particular para uma entrada em degrau IAU (t) dá-lhe a resposta de estado zero Eu_ZS(T):

Agora ligar os valores de Eu_h(T) e Eu_p(T):

Aqui estão os resultados de C₁ e C₂ para o circuito RLC série:

Agora você aplicar dualidade através de uma simples substituição de termos a fim de obter C₁ e C₂ para o circuito paralelo RLC:

Encontrar a resposta total

Você finalmente juntar-se a resposta de entrada zero Eu_ZI(T) e a resposta de estado zero Eu_ZS(T) para obter a resposta total Eu_eu(T):

A solução assemelha-se os resultados para o circuito RLC série. Além disso, as respostas de passo da corrente do indutor seguir a mesma forma que os mostrados nas respostas passo encontradas neste exemplo de circuito, para a tensão do condensador.