Como resolver equações diferenciais usando op Amps

O circuito amp op pode resolver equações matemáticas rápidas, incluindo problemas de cálculo, tais como equações diferenciais. Para resolver uma equação diferencial por encontrar v (t), por exemplo, você pode usar várias configurações de op amp de encontrar a tensão de saída v_o(T) = v (t).

Para simplificar o problema, assuma condições iniciais nulas: Zero tensão do capacitor inicial para cada integrador imediata. Para resolver uma equação diferencial, você precisa desenvolver um diagrama de blocos para a equação diferencial (que é representado pelas caixas tracejadas na figura), dando a entrada ea saída de cada caixa tracejada. Em seguida, use o diagrama de blocos de projetar um circuito.

Na extrema esquerda da figura é uma função de força de 25 volts derivado da seguinte etapas- a tensão de saída v_o(T) = v (t) está na extrema direita.

Aqui estão os passos básicos para projetar o circuito:

1. Resolva a derivada de mais alta ordem, mostrando que ela consiste de uma soma dos derivados mais baixos.

   Suponha que você queira resolver a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

   

   O primeiro passo é o de resolver algebricamente para o derivado de ordem mais alta, d²v / dt²:

   

   O derivado de mais alta ordem é uma combinação ou soma de derivados inferiores e a tensão de entrada menor: dv / dt, v, e 25. Portanto, você precisa de uma inversão de verão para adicionar os três termos, e estes termos estão forçando funções (ou entradas) à inversão verão.

2. Use integradores para ajudar a implementar o diagrama de blocos, porque o integrante do derivado de ordem superior é o derivado que é uma ordem inferior.

   Para este exemplo, integrar a segunda derivada, d²v / dt², para dar-lhe a primeira derivada, dv / dt. Como mostrado aqui, a saída do amplificador de soma de inversão é a segunda derivada (que também é a entrada para o primeiro integrador).

   A saída do primeiro integrador inversora é o negativo da primeira derivada dv / dt e serve como a entrada para o segundo integrador inversora. Com o segundo integrador inversora mostrado na figura, integrar o negativo da primeira derivada, -dv / dt, para lhe dar o resultado desejado, v (t).

3. Tome as saídas dos integradores, escalá-los e alimentá-los de volta para um (amplificador de soma) verão.

   A segunda derivada consiste em uma soma de três termos, de modo que este é o lugar onde o amp op invertendo verão entra.

1. Uma das entradas é uma constante de 25 volts para o verão e irá ser uma fonte de tensão de entrada (ou de condução). Os 25 volts na entrada é alimentado a uma das entradas para o verão com um ganho de 1.

2. A saída do primeiro integrador é o primeiro derivado de v (t), que tem um peso de 20 e é alimentado para a segunda entrada inversora do verão.

3. A saída do segundo integrador é alimentado à terceira entrada para o inversor de verão com um peso de 100.

Isto completa o diagrama de blocos.

Para este exemplo, multiplicar o primeiro derivado dv / dt por -10 e multiplicar v por -100. Soma-los como mostrado no diagrama de blocos.

Projetar o circuito para implementar o diagrama de blocos.

Para simplificar o design, dar a cada um integrador de um ganho de -1. Você precisa de mais dois amplificadores inversores de fazer os sinais saem direito. Use o verão para alcançar os ganhos de -10 e -100 encontrados na Etapa 3.

O circuito de exemplo mostrado aqui é um de muitos projetos possíveis. Mas você pode aplicar este processo básico para resolver suas equações diferenciais usando amplificadores operacionais.