Como dizer quando uma variável aleatória não tem uma distribuição binomial

A fim de saber quando uma variável aleatória em uma amostra estatística não tem uma distribuição binomial, você primeiro tem que saber o que o torna binomial. É possível identificar uma variável aleatória como sendo binomial se estiverem reunidas as seguintes quatro condições:

1. Há um número fixo de tentativas (n).

2. Cada ensaio tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

3. A probabilidade de sucesso (chamá-lo p) É a mesma para cada ensaio.

4. Os ensaios são independentes, ou seja, o resultado de um ensaio que não influencie de qualquer outro.

Então, se ele não cumprir todos destas condições, você pode dizer que uma variável aleatória não é binomial.

Distribuição não é binomial quando o número de tentativas pode mudar

Suponha que você está indo para lançar uma moeda justa até chegar quatro cabeças e você vai contar quantos flips que leva para chegar lá-, neste caso, x = Número de flips. Isso certamente soa como uma situação binomial: Condição 2 é cumprida, porque você tem sucesso (cabeças) e de falha (caudas) em cada Estado flip-3 é encontrado com a probabilidade de sucesso (cabeças), sendo a mesma (0,5) em cada flip e os flips são independentes, então Condição 4 for atendida.

No entanto, notar que x não está contando o número de cabeças (sucessos), que conta o número de flips (ensaios) necessários para obter 4 cabeças. O número de sucessos (x) É fixada em vez do número de ensaios (n). Uma vez que o número de tentativas não é fixo, Condição 1 não for cumprida, então x não tem uma distribuição binomial neste caso.

Distribuição não é binomial quando existem mais do que dois resultados

Algumas situações envolvem mais de dois resultados possíveis, mas eles podem aparecer para ser binomial. Por exemplo, suponha que você rola uma feira de morrer 10 vezes e deixe x ser o resultado de cada rolo (1, 2, 3,..., 6). Você tem uma série de n = 10 ensaios, que são independentes, e a probabilidade de cada resultado é o mesmo para cada rolo. No entanto, em cada rolo que está a gravar o resultado em um dado de seis lados, um número de 1 a 6. Esta não é uma situação sucesso / fracasso, então Condição 2 não é cumprida.

No entanto, dependendo do que você está gravando, situações originalmente ter mais de dois resultados pode cair sob a categoria binomial. Por exemplo, se você rolar um justo morrer 10 vezes e cada vez que você grava ou não você recebe um 1, então Condição 2 é cumprida porque os seus dois desfechos de interesse estão recebendo a 1 ( "sucesso") e não a obtenção de um 1 ( "falha"). Nesse caso, p (A probabilidade de sucesso) = 1/6 e 5/6 é a probabilidade de fracasso. Então se x está contando o número de 1s chegar em 10 rolos, x é uma variável aleatória binomial.

Distribuição não é binomial quando os ensaios não são independentes

Você tem 10 pessoas - 6 mulheres e 4 homens - e que pretende formar uma comissão de 2 pessoas aleatoriamente. Deixei x Ser o número de mulheres no comitê de 2. A chance de escolher uma mulher aleatoriamente na primeira tentativa é 6/10.

Porque você não pode selecionar essa mesma mulher, novamente, a oportunidade de selecionar outra mulher agora é 5/9. O valor de p mudou, e Condição 3 não for cumprido.

Neste exemplo, é também o caso que a Condição 4 não é cumprida. Se a primeira pessoa selecionada é uma mulher, então a chance de escolher uma outra mulher é 5/9. Mas se a primeira pessoa selecionada é um homem, então a chance de escolher uma mulher na segunda tentativa é 6/9. O resultado da primeira tentativa influencia o resultado da segunda tentativa, assim, as seleções não são independentes.

Se a população é muito grande (por exemplo, todos os adultos americanos), p ainda muda cada vez que você escolher alguém, mas a mudança é insignificante, para que você não se preocupar com isso. Você ainda dizem que os ensaios são independentes com a mesma probabilidade de sucesso, p. (A vida é muito mais fácil dessa maneira!)

Distribuição não é binomial quando a probabilidade de sucesso (p) alterar

Você tem 5 urnas: A, B, C, D, E. Urnas A e B têm bolas numeradas de 1 a 5 urnas C, D, E têm números de esferas de 1 a 10. Há cinco ensaios. Em cada ensaio, você desenhar uma bola de uma urna. No primeiro ensaio você tirar urna A, no segundo julgamento de desenhar a partir de urna B, etc. Seja X o número de vezes que você desenhar uma bola numerada 1.

Isto não seria uma distribuição binomial porque as mudanças de probabilidade. Nos dois primeiros ensaios (usando urnas de A e B), a probabilidade de sucesso é de 1/5. Mas nos próximos três ensaios (usando urnas C, D, e E), a probabilidade de sucesso é 1/10.