Como usar uma derivada parcial medir a inclinação em Três Dimensões

É possível utilizar um derivado parcial para medir uma taxa de variação num sentido de coordenadas em três dimensões. Para fazer isso, você visualiza uma função de duas variáveis z = f(x, y) Como uma superfície flutuando sobre a xy-plano de um gráfico cartesiano em 3-D. A figura a seguir contém uma função de exemplo.

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Agora, dê uma olhada na função z = y, mostrado aqui.

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Como você pode ver, esta função se parece muito com o telhado inclinado de uma casa. Imagine-se em pé sobre esta superfície. Quando você anda paralelo com o y-eixo, a sua altitude tanto sobe ou desce. Em outras palavras, como o valor de y alterações, o mesmo acontece com o valor de z. Mas quando você anda paralelo com o x-eixo, a sua altitude continua a ser o mesmo- alterando o valor da x não tem efeito sobre z.

Então intuitivamente, você espera que a derivada parcial

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é 1. Também esperamos que a derivada parcial

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é 0.

Calcular derivadas parciais não é muito mais difícil do que avaliar derivados regulares. Dada uma função z(x, y), Os dois são derivadas parciais

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Veja como você calculá-los:

  • Calcular

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  • tratar y como uma constante e utilização x como a variável de diferenciação.

  • Calcular

    image6.png

  • tratar x como uma constante e utilização y como a variável de diferenciação.

Por exemplo, suponha que você é dada a equação z = 5x2y3. Encontrar

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tratar y como se fosse uma constante - isto é, o factor de tratar todo cincoy3 como se fosse uma grande constante - e diferenciar x2:

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Encontrar

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tratar x como se fosse uma constante - isto é, o tratamento de 5x2 como se fosse a constante - e diferenciar y3:

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Como outro exemplo, suponha que você é dada a equação z 2 =expecado y + ln x. Encontrar

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tratar y como se fosse uma constante e se diferenciam pela variável x:

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Encontrar

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tratar x como se fosse uma constante e se diferenciam pela variável y:

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Como você pode ver, quando se diferencia por y, ln x termo é tratada como uma constante e cai fora completamente.

Voltando ao exemplo anterior - a # 147 inclinado telhado # 148- função z = y - aqui estão as duas derivadas parciais de esta função:

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Como você pode ver, este cálculo produz os resultados previstos.

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