Como resolver integrais usando integração por partes

Você pode pensar em integração por partes como a versão integração da regra do produto para a diferenciação. A ideia básica da integração por partes é transformar uma integral você posso't fazer em um simples produto menos um integrante que você posso Faz. Aqui está a fórmula:

A integração por partes fórmula:

E aqui vai uma ajuda de memória para ele: Nos dois primeiros blocos,

a você e v estão em ordem alfabética. Se você se lembrar disso, você pode se lembrar que a integral à direita é como o outro à esquerda, exceto o você e v são invertidos.

Não tente entender a fórmula ainda. Você vai ver como ele funciona em um minuto. E não se preocupe em entender o primeiro exemplo até chegar ao final do mesmo. A integração de processo de peças pode parecer muito complicado a primeira vez que através dele, então você tem que ser paciente. Depois de trabalhar através de alguns exemplos, você verá que é verdade, não é mau de todo.

A integração por partes Box: A integração pela fórmula peças contém quatro coisas: você, v, du, e dv. Para ajudar a manter tudo em linha reta, organizar os seus problemas com uma caixa como a mostrada aqui.

Para o primeiro exemplo, tente

A integração pela fórmula peças irá converter essa integral, que você não pode fazer diretamente, em um simples produto menos um integrante você vai saber como fazer. Primeiro, você tem que dividir o integrando em dois pedaços - um bloco torna-se a você eo outro o dv que você vê no lado esquerdo da fórmula. Para este problema, o ln (x) Se tornará o seu você pedaço. Em seguida, tudo o resto é o dv pedaço, ou seja,

Depois de reescrever o integrando acima, você tem o seguinte para o lado esquerdo da fórmula:

Agora é hora de fazer a coisa box. Para cada novo problema, você deve desenhar uma caixa de quatro quadrado vazio, em seguida, colocar o seu você (Ln (x) Neste problema) na praça superior esquerdo e seu

na praça inferior direito, como mostrado na figura a seguir.

Em seguida, você diferenciar você para obter o seu du, e você integrar dv para obter o seu v. As setas na segunda figura lembrá-lo para diferenciar à esquerda e para integrar à direita. Pense de diferenciação - a coisa mais fácil - como ir para baixo (como ir para baixo), e integração - a coisa mais difícil - como ir para cima (como ir para cima).

Agora preencha a caixa:

A caixa de concluído para

é mostrada na figura a seguir.

Você também pode usar a caixa de quatro quadrados para ajudar a lembrar o lado direito da fórmula de integração-a-partes: começar na praça superior esquerda e desenhe (ou imagem apenas) um número 7 vai em linha reta para a direita, em seguida, para baixo na diagonal para a esquerda, como mostrado na figura a seguir.

Lembrando como você "desenhar" a 7, olhar para trás para a figura anterior. O lado direito da fórmula de integração-a-partes lhe diz para fazer a parte superior do 7, ou seja,

menos a integrante da parte diagonal do 7,

By the way, tudo isso é muito mais fácil de fazer do que explicar. Tente. Você vai ver como esse esquema de quatro quadrados-box ajuda a aprender a fórmula e organizar esses problemas.

Pronto para terminar? Ligue tudo na fórmula:

Na última etapa, você substitui o # 8201;

vezes qualquer número antigo ainda é apenas um número qualquer idade.