Como fazer a integração por partes

Integração por partes é a versão integração da regra do produto para a diferenciação. A ideia básica da integração por partes é transformar uma integral você não pode fazer em um simples produto menos um integrante que você posso Faz. Aqui está a fórmula:

Não tente entender isso ainda. Aguarde os exemplos que se seguem.

Se você se lembrar disso, você pode facilmente lembrar que a integral à direita é como o outro à esquerda, exceto com a você e v invertida.

Aqui está o método em poucas palavras.

Primeiro, você tem que dividir o integrando em um você e um dv de modo que caiba a fórmula. Para este problema, escolha ln (x) para ser seu você. Então, tudo o resto é o dv, nomeadamente

Em seguida, você diferenciar você para obter o seu du, e você integrar dv para obter o seu v. Finalmente, você conecta tudo na fórmula e você está em casa gratuitamente.

Para ajudar a manter tudo em linha reta, organizar problemas de integração-a-peças com uma caixa como a da figura acima. Desenhe uma caixa de 2-por-2 vazio, em seguida, colocar o seu você, ln (x), No canto superior esquerdo e seu dv,

no canto inferior direito, como na figura a seguir.

As setas nesta figura lembrá-lo para diferenciar à esquerda e para integrar à direita. Pense de diferenciação - a coisa mais fácil - como ir para baixo (como ir para baixo), e integração - a coisa mais difícil - como ir para cima (como ir para cima).

Agora preencha a caixa:

A caixa de concluído para

é mostrada na figura a seguir.

Uma boa maneira de lembrar a fórmula de integração-a-partes é começar na praça superior esquerda e desenhar um número imaginário 7 - em frente, em seguida, para baixo à esquerda, como mostrado na figura a seguir. Este é um dispositivo mnemônico oh-so-sevenly (obtê-lo -? # 147 sevenly # 148- como # 147-celeste # 148 -. Ha, ha, ha, ha)

Lembrando como você desenhar a 7, olhar para trás para a figura com a caixa concluída. A fórmula de integração-a-partes lhe diz para fazer a parte superior do 7, ou seja,

menos a integrante da parte diagonal do 7,

(By the way, este método é muito mais fácil de fazer do que explicar. Tente a técnica de caixa com o 7 mnemônico. Você vai ver como esse esquema ajuda você a aprender a fórmula e organizar esses problemas.)

Pronto para terminar? Ligue tudo na fórmula:

Isso ocorre porque -2/3 vezes qualquer número ainda é apenas um número qualquer.

Aqui está um grande dispositivo mnemônico para como escolher o você (Novamente, uma vez que você selecionou seu você, tudo o resto é automaticamente o dv.

Herbert E. Kasube surgiu com a sigla LIATE para ajudar você a escolher o seu você (Nerds cálculo pode conferir o artigo de Herb na American Mathematical Monthly 90 de 1983 emissão):

(Note que para se qualificar como uma função exponencial, a alimentação deve conter uma x, não apenas um número.)