Como encontrar o ângulo e magnitude de um vetor

Na física, às vezes você tem que encontrar o ângulo e magnitude de um vetor em vez dos componentes. Para encontrar a magnitude, você usa o teorema de Pitágoras. E para encontrar

você usa a função inversa da tangente (ou seno inverso ou co-seno).

Por exemplo, suponha que você está procurando um hotel que é de 20 milhas para o leste e, em seguida, 20 milhas ao norte. A partir de sua localização atual, que é o ângulo (medido a partir do leste) da direção do hotel, e quão longe é o hotel? Você pode escrever esse problema em notação vetorial, assim:

Passo 1: (20, 0)

Passo 2: (0, 20)

Ao adicionar estes vetores juntos, você obter este resultado:

(20, 0) + (0, 20) = (20, 20)

O vector resultante é (20, 20). Essa é uma maneira de especificar um vector - use seus componentes. Mas este problema não está pedindo os resultados em termos de componentes. A pergunta quer saber o ângulo e distância para o hotel.

Em outras palavras, olhando para a figura acima, o problema pede,

Se você sabe componentes verticais e horizontais de um vetor, encontrando magnitude do vector não é tão difícil, porque você só precisa encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo. Você pode usar o teorema de Pitágoras (x² + y² = h²), Resolvido por h:

Ligar os números dá-lhe

Tenha em mente que quando você conhece os componentes horizontal e vertical de um vetor, você pode usar a tangente para encontrar o ângulo porque

Tudo que você tem a fazer é tomar a tangente inversa de y/x:

Suponha que você dirige 20 milhas a leste e 20 milhas ao norte. Veja como você encontrar

o ângulo entre sua posição original e seu final, uma:

Assim, o hotel é de cerca de 28 milhas de distância em um ângulo de 45 graus.

Tenha cuidado ao fazer cálculos com tangentes inversas, porque ângulos que diferem em 180 graus têm a mesma tangente. Quando você toma a tangente inversa, talvez seja necessário adicionar ou subtrair 180 graus para obter o ângulo real do que você quer. O botão tangente inversa na calculadora vai sempre dar-lhe um ângulo entre 90 graus e 90 graus. Se o ângulo não é neste intervalo, então você tem que adicionar ou subtrair 180 graus.

Para este exemplo, a resposta de 45 graus devem estar corretas. Mas considere uma situação em que você precisa para adicionar ou subtrair 180 graus: Suponha que você anda completamente o sentido oposto ao hotel. Você anda 20 milhas a oeste e 20 milhas ao sul (x = -20 milhas, y = Milhas -20), então se você usar o mesmo método para calcular o ângulo, você obter o seguinte:

Você obtém a mesma resposta para o ângulo mesmo que você está andando em direção completamente oposta, como antes! Isso porque as tangentes de ângulos que diferem em 180 graus são iguais. Mas se você olhar para os componentes do vetor (x = -20 milhas, y = Milhas -20), eles são ambos negativos, então o ângulo deve estar entre -90 graus e -180 graus. Se você subtrair 180 graus de sua resposta de 45 graus, você começa -135 graus, o que é o seu ângulo real medido a partir do eixo x positivo no sentido horário.

Alternativamente, você poderia argumentar que, desde os componentes do vetor são ambos negativo, você deve estar entre 180 graus e 270 graus. Você, então, adicionar 180 graus para o seu resultado e obter 225 graus, que seriam medidos a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário.

Então, o que ângulo é correta, 225 graus ou -135 graus? Ambos! Se você mover para a esquerda 225 graus no sentido horário ou 135 graus a partir do eixo x positivo, você acaba indo na mesma direção.