Como calcular a degeneração de Energia de um átomo de hidrogênio em termos de n, l e m

Cada estado quântico do átomo de hidrogênio é especificado com três números quânticos: n (O número quântico principal), eu (O número de impulso quântico angular do electrão), e m (a z componente do momento angular do elétron,

Como muitos destes estados têm a mesma energia? Em outras palavras, o que é a degeneração de energia do átomo de hidrogênio em termos dos números quânticos n, eu, e m?

Bem, a energia real é apenas dependente n, como você vê na seguinte equação:

Isso significa que o E é independente de eu e m. Então, quantos estados, |n, eu, m>, Tem a mesma energia para um valor particular de n? Bem, para um determinado valor de n, eu pode variar de zero a n - 1. E cada eu podem ter valores diferentes de m, de modo que o total é degenerescência

A degenerescência m é o número de estados com diferentes valores de m que tem o mesmo valor de eu. Para qualquer valor particular de eu, você pode ter m Os valores de -eu, -eu + 1, ..., 0, ..., eu - 1, eu. E isso é (2eu + 1) possível m Unidos por um valor particular de eu. Então você pode conectar (2eu + 1) para a degenerescência em m:

E esta série trabalha-se apenas n².

Assim, a degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogénio é n². Por exemplo, o estado fundamental, n = 1, tem degenerescência = n² = 1 (que faz sentido porque eu, e, por conseguinte, m, só pode ser igual a zero para este estado).

Para n = 2, você tem uma degenerescência de 4:

Legal.