O Golden Ratio

Razões e proporções são uma parte importante do estudo da matemática, ciências e negócios. A relação pode ser escrita como uma fração, e uma proporção é uma declaração de que dois índices são iguais. As propriedades das proporções são mais útil na resolução de problemas cujas equações usar proporções.

Primeiro, considere as propriedades de proporções. Dada a proporção

o seguinte é verdadeiro:

• Os produtos transversais são iguais: de Anúncios = bc.

• Os recíprocos são iguais:

  

• As seguintes fracções pode ser reduzida, como de costume.

  

As fracções do seguinte pode ser reduzida na vertical ou na horizontal através da remoção de factores comuns:

Então se uma = ef e c = por exemplo, então

E se b = jk e d = jm, então

Estas propriedades são utilizadas para trabalhar com o proporção áurea, a relação encontrada no retângulo de ouro. O rectângulo de ouro é acreditado para ser a forma mais esteticamente agradável e aparece em obras-primas, como o Monalisa e na outra arte e arquitetura durante séculos.

Dentro Euclides's Elements, você encontra uma das definições primeira escritas desta proporção áurea: Nº 147-A linha reta é dito ter sido cortado em extrema e média razão quando, como toda a linha é o maior segmento, assim é o maior para o menor. # 148- O que é que grego para você?

Considere-se um segmento dividido em duas partes, uma e b, representando a proporção áurea.

o segmento uma é uma unidade de comprimento, e o segmento uma + b é de cerca de 1.618 unidades por muito tempo, uma aproximação da proporção áurea. Assim, a proporção

O símbolo aproximada é usado aqui porque a proporção áurea é um número irracional e tem um decimal que nunca termina ou repete. O que há de tão especial sobre esta relação particular?

Voltar para definição de Euclides, o # 147 como toda a linha é para o maior segmento # 148- (o comprimento é de 1,618 a 1) # 147-so é a maior para o menor # 148- (o comprimento 1 é 0,618). o rácio

A proporção

Para encontrar o valor exato da proporção áurea, considere a proporção

Se o comprimento de uma é uma unidade, em seguida, a proporção torna-se

Use a propriedade cruzada de produtos para obter (1 + b)b = 1 ou b + b² = 1. No formulário padrão de uma equação quadrática em b, Você tem b² + b - 1 = 0. Para calcular b, você precisa a fórmula quadrática:

Você considerar apenas a soma no numerador, porque

é um número negativo e não pode representar o comprimento do segmento. Então deixe

agora, calcule uma + b substituindo o uma com uma ea b com a solução da fórmula quadrática, e você tem:

O valor de

ou a proporção áurea.