Como encontrar o limite de uma função algebricamente
Quando seu professor de pré-cálculo pede-lhe para encontrar o limite de uma função algebricamente, você tem quatro técnicas para escolher: ligar o x
Menu
O melhor lugar para começar é a primeira técnica. Você só pode usar esta técnica se a função é contínua no x valor em que você está tomando o limite. Se a função não estiver definida neste x valor, você deve passar para as outras técnicas para simplificar a sua função de modo que você pode conectar o valor aproximado para x.
Encontrar o limite ligando o x valor
A primeira técnica para algebricamente resolvendo para um limite é ligar o número que x é aproximar-se para a função. Se você receber um valor indefinido (0 no denominador), você deve passar para uma outra técnica. Mas se a sua função é contínua em que x valor, você vai ter um valor, e você é feito- você encontrou o seu limite! Por exemplo, com este método, você pode encontrar este limite:
O limite é de 3, porque f(5) = 3 e esta função é contínua em x = 5.
Encontrar o limite de factoring
Factoring é o método para tentar quando ligar falha - especialmente quando qualquer parte da função dada é uma expressão polinomial.
Digamos que você está convidado a encontrar este limite:
Você primeiro tente ligar 4 para a função, e você começa 0 no numerador e o denominador, que lhe diz para passar para a próxima técnica. A expressão quadrática no numerador grita para que você tente factoring-lo. Note-se que o numerador da função dos factores anteriores para (x - 4) (x - 2). o x - 4 cancela na parte superior e na parte inferior da fracção. Este passo deixa-o com f(x) = x - 2. Você pode conectar 4 para esta função contínua para obter 2.
Se você representar graficamente esta função, parece que a linha reta f(x) = x - 2, mas que tem um furo, quando x = 4 porque a função original ainda é indefinido lá (porque cria 0 no denominador). A figura ilustra isso.
Se, depois de ter consignado parte superior e inferior da fração, um termo no denominador não cancelar e o valor que você está procurando é indefinido, o limite da função em que o valor de x não existe (que você pode escrever como DNE).
Por exemplo, esta função factores como mostrado:
O (x - 7) na parte superior e na parte inferior anular. Então, se você for solicitado para encontrar o limite da função como x se aproxima de 7, você pode ligar 7 para a versão cancelada e obter 11/8. Mas se você está tentando encontrar
o DNE limite, porque você deseja obter 0 no denominador. Esta função, por conseguinte, tem um limite de qualquer lugar, excepto quando x abordagens -1.
Encontrar o limite, racionalizando o numerador
A terceira técnica que você precisa saber para encontrar limites algebricamente exige que você racionalizar o numerador. Funções que exigem este método tem uma raiz quadrada no numerador e uma expressão polinomial no denominador. Por exemplo, digamos que você está convidado a encontrar o limite desta função como x aproxima-se 13:
Obstrução em números falha quando você começa 0 no denominador da fração. Factoring falha porque a equação não tem polinomial ao fator. Nessa situação, se você multiplicar o numerador eo denominador pelo conjugado do numerador, o termo no denominador que era um problema anula, e você será capaz de encontrar o limite:
Multiplicar a parte superior e inferior da fracção pelo conjugado.
O conjugado do numerador é
Multiplicando por meio, você tem esta configuração:
Frustrar os numerador para obter
o que simplifica a x - 13 (meio dois termos cancelar e você combinar como termos da FOLHA).
Anular fatores.
Cancelamento dá-lhe esta expressão:
O (x - 13) termos cancelar, deixando-o com este resultado:
Calcular os limites.
Quando você conecta 13 para a função, você obtém 1/6, que é o limite.
Encontrar o limite por encontrar o menor denominador comum
Quando você está dado uma função racional complexo, você usa a quarta e última técnica de encontrar limite algébrica. A técnica de entupimento falhar, porque você acaba com um 0 em um dos denominadores. A função não é factorável, e você não tem raízes quadradas de racionalização. Portanto, você sabe para passar para a última técnica. Com este método, você combinar as funções por encontrar o denominador comum mínimo (LCD). Os termos cancelar, em que ponto você pode encontrar o limite.
Por exemplo, siga os passos para encontrar o limite:
Encontre o LCD das frações no topo.
Distribua os numeradores no topo.
Adicionar ou subtrair os numeradores e, em seguida, cancelar termos.
Subtraindo os numeradores dá-lhe
que, em seguida, a simplifica
Use as regras para as frações para simplificar ainda mais.
Substitua o valor limite para esta função e simplificar.
Você quer encontrar o limite de x se aproxima de 0, então o limite aqui é -1/36.