Funções senoidais e Análise de Circuitos

As funções senoidais (seno e cosseno) aparecem em todos os lugares, e eles desempenham um papel importante na análise de circuitos. As funções senoidais fornecer uma boa aproximação para descrever a entrada do circuito e comportamento de saída não só em engenharia elétrica, mas em muitos ramos da ciência e engenharia.

A função sinusoidal é periódica, ou seja, o seu gráfico contém uma forma básica que se repete uma e outra vez indefinidamente. A função vai para sempre, a oscilar por meio de picos e vales sem fim em ambos os sentidos positivo e negativo de tempo. Aqui estão algumas peças-chave da função:

• a amplitude V_UMA define os picos máximos e mínimos das oscilações.

• Freqüência f₀ descreve o número de oscilações em 1 segundo.

• O período T₀ define o tempo necessário para completar um ciclo.

O período e freqüência são inversos um do outro, regido pela seguinte relação matemática:

Aqui é uma função cosseno você pode usar como o sinal de referência:

Você pode mover funções senoidais esquerda ou para a direita com um Time Shift, bem como aumentar ou diminuir a amplitude. Também pode descrever uma função sinusoidal com uma mudança de fase em termos de uma combinação linear de funções seno e coseno. Aqui é uma função cosseno e uma função cosseno deslocado com uma mudança de fase de 960- # / 2.

Os desvios de fase em uma função sinusoidal

Um sinal de que é fora de fase tenha sido deslocado para a esquerda ou para a direita quando comparado com um sinal de referência:

• deslocamento para a direita: Quando uma função move para a direita, então a função é dito ser atrasado. O cosseno adiada tem seu pico ocorrer após a origem. Um sinal retardado também é dito ser um sinal de lag porque o sinal chega mais tarde do que o esperado.

• Desvio à esquerda: Quando a função co-seno é deslocada para a esquerda, a função deslocada está a ser dito avançado. O pico do sinal avançado ocorre pouco antes da origem. Um sinal avançado também é chamado de sinal de chumbo porque o sinal chumbo chega mais cedo do que o esperado.

Aqui estão alguns exemplos de funções de co-seno não prefixadas, defasada, e chumbo.

Para ver o que uma mudança de fase parece matematicamente, primeiro dar uma olhada o sinal de referência:

em t = 0, o pico positivo V_UMA serve como um ponto de referência. Para mover o ponto de referência pela mudança de tempo T_S, substitua o t com (t - T_S):

Onde

O fator # 981- é a mudança de fase (ou ângulo). O deslocamento de fase é o ângulo entre t = 0 e o pico positivo mais próxima. Você pode ver a equação anterior, tal como a representação polar da senóide. Quando a mudança de fase é # 960- / 2, em seguida, o co-seno deslocada é uma função sinusoidal.

Expresse o ângulo de fase em radianos para se certificar de que é nas mesmas unidades como o argumento do cosseno (2 # 960-t/T₀ - # 981-). Ângulos pode ser expresso em radianos ou graus- certifique-se de usar o controle de sua calculadora direita.

Quando você tem uma mudança de fase # 981- na saída, quando em comparação com a entrada, é geralmente causada pelo próprio circuito.

Expandir uma função sinusoidal e encontrar coeficientes de Fourier

O sinusoid geral v (t) envolve a co-seno da diferença de ângulos. Em muitas aplicações, você pode expandir a sinusoid geral usando o seguinte identidade trigonométrica:

Expandindo o sinusoid geral v (t) leva a

Os termos c e d são constantes apenas especiais chamados coeficientes de Fourier. É possível exprimir a forma de onda como uma combinação de senos e co-senos, como segue:

A função v (t) descreve um sinal senoidal na forma retangular.

Se você conhece seus números complexos indo entre as formas polares e retangulares, então você pode ir entre as duas formas de sinusóides. Os coeficientes de Fourier c e d estão relacionadas pela amplitude V_UMA e fase # 981-:

Se você voltar a encontrar V_UMA e # 981- a partir dos coeficientes de Fourier c e d, você acabar com estas expressões:

A função tangente inversa em uma calculadora tem um positivo ou negativo 180 # 176- (ou # 960-) ambigüidade de fase. Você pode descobrir a fase de olhar para os sinais dos coeficientes de Fourier c e d. Desenhe os pontos c e d no sistema rectangular, onde c é o x-componente (ou abscissa) e d é o y-componente (ou ordenada).

A razão entre d/c pode ser negativo nos quadrantes II e IV. Usando o sistema rectangular ajuda a determinar os ângulos quando se toma o arco tangente, cujo intervalo é de - # 960- / 2 para 960- # / 2.

Ligue funções senoidais para exponenciais com a fórmula de Euler

A fórmula de Euler conecta funções trigonométricas com funções exponenciais complexas. A fórmula afirma que para qualquer número real # 952-, você tem as seguintes expressões exponenciais complexas:

o expoente j# 952- é um número imaginário, onde j = # 8730--1.

O número imaginário j é o mesmo que o número Eu de suas aulas de matemática, mas todas as pessoas legais usar j para números imaginários porque Eu meios de corrente.

Você pode somar e subtrair as duas equações anteriores para obter as seguintes relações:

Estas equações dizer que as funções de seno e co-seno são construídos como uma combinação de exponenciais complexas. As exponenciais complexas desempenhar um papel importante quando você está analisando circuitos complexos que têm dispositivos de armazenamento, tais como capacitores e indutores.