Resolução de equações diferenciais separáveis

equações diferenciais tornam-se mais difíceis de resolver o mais enredados eles se tornam. Em certos casos, no entanto, uma equação que parece tudo enroscado é realmente fácil de provocar uma separação. Equações deste tipo são chamados equações separáveis (ou equações autónomas), E eles se encaixam no seguinte formato:

equações separáveis ​​são relativamente fáceis de resolver. Por exemplo, suponha que você deseja resolver o seguinte problema:

Você pode pensar do símbolo

como uma fracção e isolar o x e y termos da equação em lados opostos do sinal de igual:

e^y dy = sin x dx

Agora integrar ambos os lados:

Num aspecto importante, o passo anterior é questionável porque a variável de integração é diferente em cada lado do sinal de igual. Você pode pensar # 147-Não tem problema, é tudo integração! # 148- Mas imagine se você tentou dividir um lado de uma equação por 2 e outro por 3, e depois riu-o com # 147 É tudo divisão! # 148- Claramente, você tem um problema. A boa notícia, porém, é que a integração de ambos os lados por diferentes variáveis ​​realmente produz a resposta correta.

C₁ e C₂ são ambos constantes, para que você possa usar a equação C = C₂ - C₁ para simplificar a equação:

e^y= -cos x + C

Em seguida, usar um log natural para desfazer o expoente e, em seguida, simplificar:

ln e^y= ln (-cos x + C)

y = ln (-cos x + C)

Para verificar esta solução, substitua esse valor para y em ambos os lados da equação original: