Como usar Kets, o Hermitian Conjugado, e Bra-ket Notation

O que Dirac notação e o conjugado Hermitian têm em comum? Eles ajudam físicos para descrever realmente, realmente grandes vetores. Na maioria dos problemas de física quântica, os vetores podem ser infinitamente grande - por exemplo, uma partícula em movimento pode ser em um número infinito de estados. Lidar com grandes conjuntos de estados não é fácil usando a notação de vetor, assim em vez de explicitamente escrita para fora todo o vector de cada vez, a física quântica geralmente usa a notação desenvolvido pelo físico Paul Dirac - a Dirac ou notação bra-ket.

Abreviar vetores de estado como Kets

notação de Dirac abrevia o vetor de estado como um ket, como isso:

Por exemplo, se você estava tentando encontrar as probabilidades de que um par de dados laminados foi propensos a mostrar, você poderia escrever o vetor de estado como um ket desta forma:

Aqui, os componentes do vector de estado são representados por números. Mais comumente, no entanto, cada componente representa uma função, algo parecido com isto:

Você pode usar funções como componentes de um vetor de estado, desde que eles são linearmente funções independentes (e por isso podem ser tratados como eixos independentes no espaço Hilbert). Em geral, um conjunto de vectores

em Hilbert espaço é linearmente independente se a única solução para a seguinte equação é que todos os coeficientes uma_Eu = 0:

Isto é, contanto que você não pode escrever qualquer um vetor como uma combinação linear dos outros, os vetores são linearmente independentes e assim formar uma base válida no espaço de Hilbert.

Escrevendo o conjugado Hermitian como um sutiã

Para cada ket, há um sutiã correspondente. (Os termos vêm de bra-ket, ou suporte.) UMA sutiã é o conjugado Hermitian do ket correspondente.

Suponha que você começar com este ket:

O símbolo do asterisco (*) na seguinte equação significa o conjugado complexo. (UMA conjugado complexo inverte o sinal que liga as partes real e imaginária de um número complexo.) Então o sutiã correspondente, que você escreve como

O sutiã é esse vetor linha:

Observe que, se qualquer um dos elementos do ket são números complexos, você tem que tomar o seu complexo conjugado ao criar o sutiã associado. Por exemplo, se o seu número complexo na ket é uma + bi, seu conjugado complexo no sutiã é uma - bi.

Multiplicando bras e kets

Você pode pegar o produto de sua ket e sutiã, denotado como

como isso:

Isto é apenas a multiplicação de matrizes, e o resultado é o mesmo como tendo a soma dos quadrados dos elementos:

E essa é a forma como deve ser, porque a probabilidade total deve somar 1. Por isso, em geral, o produto do sutiã e ket é igual a 1:

Se esta relação se mantém, o ket

é dito para ser normalizada.