Sistema de Controle de Estudo de Caso: Cruise Control

Este estudo de caso começa com a construção de modelos, a partir de física básica. Uma atenção especial é dada para incorporar a resistência do vento e incluem como um sistema perturbação,

o início de uma colina. As leis do movimento dizem que dada a massa do veículo m e motor fornecido vigor cw(t), Onde c é constante de proporcionalidade e 0 # 8804- W (t) # 8804- 1 representa o acelerador do motor, F_copinho(t) = mv(t) = cw(t), t # 8805- 0.

a resistência do ar, proporcional à velocidade vezes constantes quadrado # 961-, produz arrasto sobre o veículo. Além disso, quando o veículo encontra uma colina (a perturbação do sistema descrito na introdução) do ângulo # 952-, gravidade cria uma segunda força contrária, mg pecado(# 952-), Onde g é a constante gravitacional de 9,8 m / s². Um pequeno ângulo é assumida neste caso, portanto, o seguinte é válido.

A equação do movimento é agora

em que a última linha é dividida pela massa através m. Esta é uma equação diferencial não-linear em termos da velocidade do veículo v(t) Por causa do aparecimento de v²(t), O termo resistência ao ar.

Observe a equação diferencial não-linear

Embora a equação diferencial não linear não está numa forma adequada para a concepção de um controle de cruzeiro, existem algumas observações interessantes que podem ser feitas. Este entendimento também contribui com o processo de linearização.

Quando o veículo está em terreno plano (# 952- = 0), e o valor máximo de aceleração de 1,0, a equação reduz-se a diferencial não linear

A velocidade máxima será alcançada como t torna-se maior. Na velocidade máxima da aceleração tem de ser igual a zero, então

A equação simplifica ainda mais a

Não tente isso em casa com seu carro!

A segunda observação é que as bancas de veículos ao subir uma colina em plena aceleração por algum ângulo crítico # 952-_s. Você primeiro precisa saber que tenda significa a velocidade do veículo é zero e a aceleração é zero. A partir da equação diferencial não-linear completa

Agora você resolver para # 952-_s como o pecado^-1[c/ (mg)]. Note que esta análise assume que o veículo permanece em uma engrenagem fixa. Em dirigindo seu próprio carro você provavelmente redução para a marcha mais baixa para evitar a estagnação.

A terceira observação é a solução para a equação diferencial não-linear no máximo acelerador e # 952- = 0. Comece por definir a constante

a equação diferencial com este T inserir torna-se:

A solução exata para esta forma simplificada é v(t) = v_maxtanh (t / T). Você pode verificar isso é uma solução válida, inserindo-o de volta na equação diferencial e ver que a equação é satisfeita. Esta solução dá o perfil de velocidade em função do tempo com o acelerador realizada no chão.

Note que este não chega a aplicar-se a um carro real, porque o modelo não leva em conta troca de marchas com uma transmissão. Ao traçar v(t) para um dado v_max e T você pode ver cerca de quanto tempo leva para acelerar a uma velocidade de cruzeiro particular, por exemplo, 0 a 60 mph em 10 segundos.

Linearizar a uma velocidade de cruzeiro nominal

Para linearizar a equação diferencial para uma velocidade de cruzeiro nominal de v₀ lt; v_max e ajuste de aceleração de 0 correspondente lt; W₀ lt; 1, use um prazo série de Taylor expansão. No cálculo, você aprende que qualquer função, digamos y = f(x), Pode ser aproximada perto do ponto x₀ utilização f(x₀) E seus derivados avaliada em x₀. A aproximação de um termo é linear no x - x₀, isso é

E se f(x) = x² torna-se a expansão

Porque f '(x) = 2x avaliada em x₀ é 2x₀.

Para o problema na mão, você quer expandir no que diz respeito à velocidade nominal v₀ e posição do acelerador W₀. Fazer substituições na equação diferencial de origem como se segue:

representam o desvio das configurações de velocidade e de aceleração longe dos valores nominais. Estes são os novos parâmetros de modelagem. Na equação diferencial de origem:

em que uma função etapa está incluído no termo colina gravidade para modelar o início colina para t = 0. Nota na última linha

é zero, porque este é o ponto de operação constante nominal, que corresponde também a posição do acelerador W₀. Se você definir a constante de tempo

a equação diferencial agora linearizado torna-se