Avaliando a área de um polígono

Não só pode ser polígonos classificadas pelo número de lados que têm e pelos seus ângulos, mas eles também podem ser agrupados de acordo com algumas das suas qualidades. Polígonos pode ter três características de personalidade: equiláteros, equiangulares e regulares.

numa equilátero polígono, todos os lados são iguais e há pelo menos um ângulo nonsimilar. numa equiângulo polígono, todos os ângulos são iguais e, pelo menos, um lado não coincide com o comprimento dos outros. UMA regular polígono é tanto equilátero e equiangular- tem simetria Total - lados iguais e ângulos iguais.

Algumas linhas são especiais

Ao se preparar para encontrar a área de um polígono regular, você tem que ter em mente que os polígonos regulares têm linhas com significado especial. Essas linhas incluem o raio eo apótema.

o raio é uma linha que vai do centro do polígono em um cotovelo (ou vértice, se você preferir o murmúrio técnica) do polígono - dividindo esse ângulo uniformemente em dois. Quando dois raios diferentes em um polígono são atraídos para dois vértices consecutivos, um ângulo central é formado no centro do polígono (ver Figura 1).


Figura 1: Dois raios atraídos para dois vértices consecutivos formar um ângulo central de um polígono regular.

Ao contrário do raio, que cruza um ângulo, uma apótema funciona a partir do centro do polígono direto para um lado plano do polígono. Com o impacto, o apótema torna-se uma mediatriz do lado colide com (veja a Figura 2).


Figura 2: Um apótema de um polígono regular torna-se uma mediatriz.

Uma festa de teoremas

Uma série de teoremas existem para raios, ângulos centrais e apothems de polígonos regulares. Aqui está um resumo para seu prazer da leitura:

  • Teorema 5-8: Raios de um polígono regular bissetriz do ângulo interior.
  • Teorema 5-9: ângulo central de um polígono regular são congruentes.
  • Teorema 5-10: ângulos centrais de polígonos regulares com lados iguais são congruentes.
  • Teorema 5-11: A medida de um ângulo central de um polígono regular é igual a 360 # 176-, dividido pelo número de lados do polígono.
  • Teorema 5-12: Um apótema de um polígono regular bissecta o ângulo central (determinado pelo lado) ao qual ele é desenhado.
  • Teorema 5-13: Um apótema de um polígono regular é uma bissectriz perpendicular ao lado é atraído.

Juntando tudo

Você pode calcular a área de um polígono regular, usando o comprimento do seu apótema eo comprimento do seu perímetro: Você precisa fazer um levantamento do perímetro e determinar o seu comprimento. Use as informações sobre o comprimento de um lado. Uma vez que o polígono é regular, os comprimentos são as mesmas para cada lado. Multiplique o número de lados do polígono pelo comprimento de um lado, e você começa o perímetro. A área de um polígono regular é igual a metade do produto da apótema e do perímetro.

Teorema 5-14: A fórmula para a área de um polígono regular é UMA = 1/2ap, Onde uma é o e apótema p é o perímetro.

Tradução: Se você tem um polígono regular, conecte o comprimento do apótema eo perímetro na fórmula, e você começa a área.

Dê uma olhada na Figura 3 para um exemplo. A informação dada indica que o comprimento de um lado do pentágono é igual a 5 e que o apótema é igual a 6. Antes que você possa determinar a área, você deve primeiro calcular o perímetro. Se o comprimento de um lado de um pentágono é 5, em seguida, o perímetro é igual a um comprimento de lado de 5 multiplicado por cinco lados. Assim, o perímetro total do pentágono é igual a 25. Se você ligar esta informação na fórmula área, você obter o seguinte:

UMA = 1/2 (6) (25)

A = 1/2 (150)

UMA = 75

Então, a área do pentágono na Figura 3, com a informação dada, é de 75 unidades quadradas.


Figura 3: É possível determinar a área de um pentágono, iniciando com o comprimento de um lado e o comprimento do apótema.

Agora, considere o seguinte: Assim como você pode adicionar segmentos de linha e ângulos, você também pode adicionar áreas.

Postular 5-1: Se um polígono inclui regiões mais pequenas, que não se sobrepõem dentro do seu perímetro, então a área de polígono que é igual à soma das áreas das regiões fechadas.

Dê uma olhada no polígono côncavo na Figura 4. Para encontrar a área total da figura, obter a área de seções que você pode facilmente obter. Olhe atentamente: Você pode realmente quebrar o polígono em dois retângulos não sobrepostas. Encontrar a área de cada retângulo e, em seguida, adicioná-los juntos. Você, então, ter a área de todo o polígono.


Figura 4: Em um polígono, a soma das áreas das regiões não se sobreponham iguala toda a área do polígono.

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