Sistemas de Equações Usando Determinantes resolver: Regra de Cramer

Se o seu professor de pré-cálculo pede-lhe para resolver um sistema de equações, você pode impressionar ele ou ela usando regra de Cramer em vez de usar uma calculadora gráfica.

regra de Cramer diz que se o determinante de uma matriz de coeficientes | A | não é 0, então as soluções para um sistema de equações lineares podem ser encontrados como se segue:

Se a matriz descrevendo o sistema de equações parece com isso:

Então

e assim por diante até que você tenha resolvido para todas as variáveis. Em outras palavras, os componentes da solução são facilmente obtidos pelo cálculo dos rácios apropriados de determinantes de uma família de matrizes. Note-se que o denominador desses componentes é o determinante da matriz de coeficientes.

Esta regra é útil quando os sistemas são muito pequenos ou quando você pode usar uma calculadora gráfica para determinar os determinantes porque ajuda a encontrar as soluções com lugares mínimos para se misturam. Para usá-lo, basta encontrar o determinante da matriz dos coeficientes.

O determinante de uma matriz 2-x-2 como esta:

é definido como sendo de Anúncios - bc. O determinante de uma matriz de 3-X-3 é um pouco mais complicado. Se a matriz é

então você pode encontrar o determinante, seguindo estes passos:

1. Reescrever as duas primeiras colunas imediatamente após a terceira coluna.

2. Desenhe três linhas diagonais a partir do canto superior esquerdo para o canto inferior direito e três linhas diagonais a partir do canto inferior esquerdo para o canto superior direito, como mostrado nesta figura.

   
   Como encontrar o determinante de uma matriz de 3 x 3.

3. Multiplique-se as três diagonais da esquerda para a direita e, em seguida, adicionar estes produtos. Multiplique-se os outros três a partir da esquerda para a direita e adicionar estes produtos. Em seguida, subtrair a segunda soma da primeira soma.

   O determinante da matriz de 3 x 3 é:

   

Para encontrar o determinante dessa matriz de 3 x 3:

você usa um processo conhecido como utilizando diagonais, que você pode ver nesta figura.

Este exemplo proporciona um atalho para encontrar o determinante de uma matriz de 3 x 3. Para 4 x 4 e maiores matrizes, os métodos utilizados aqui não são válidos.

Depois de encontrar o determinante da matriz de coeficientes (à mão ou com um dispositivo tecnológico), substitua a primeira coluna da matriz de coeficientes com a matriz de resposta do outro lado do sinal de igual e encontrar o determinante de que a nova matriz. Em seguida, substitua a segunda coluna da matriz de coeficientes com a matriz de resposta e encontrar o determinante dessa matriz. Continue esse processo até que você tenha substituído cada coluna e encontrou cada nova determinante. Os valores das respectivas variáveis ​​são iguais ao determinante da matriz de novo (quando se substituiu a respectiva coluna) dividido pelo determinante da matriz de coeficientes.

Você não pode usar a regra de Cramer quando a matriz não é quadrado ou quando o determinante da matriz coeficiente é 0, porque você não pode dividir por 0. regra de Cramer é mais útil para a-2 2-x ou superior Sistema de equações lineares.

Para resolver um sistema de 3-X-3 de equações, tais como

usando a regra de Cramer, você configurar as variáveis ​​da seguinte forma: