O modelo linear-Log em Econometria

Se você usar valores de log naturais para suas variáveis ​​independentes (x) E manter a sua variável dependente (Y) Em sua escala original, a especificação econométrica é chamado de modelo de log linear (Basicamente a imagem espelhada do modelo log-linear). Estes modelos são normalmente utilizados quando o impacto da sua variável independente sobre a variável dependente diminui à medida que o valor de seus aumentos variáveis ​​independentes.

O comportamento da função é semelhante a um quadrática, mas é diferente na medida em que ela nunca atinge um valor máximo ou mínimo Y valor.

O modelo original não é linear em parâmetros, mas uma transformação logarítmica gera a desejada linearidade. (Lembre-se que a linearidade nos parâmetros é um dos pressupostos MQO).

Considere o seguinte modelo de gastos de consumo, o que depende de algum consumo autônomo e renda:

Onde Y representa gastos de consumo,

é o consumo autônomo (consumo que não depende de lucros), x é a renda, e

é o efeito estimado da renda sobre o consumo.

Você provavelmente está familiarizado com a relação entre renda e consumo. Em seus princípios de cursos de economia, você provavelmente se refere a ele como um curva de Engel. Você pode não ter visto a função matemática por trás dele, mas você viu a representação gráfica.

A estimativa das funções de consumo não é o único uso de funções log-linear. Economistas tendem a utilizar estas funções a qualquer momento que as alterações na unidade a variável dependente é provável que seja menos do que a unidade alterações nas variáveis ​​independentes.

Se você começar com uma função da forma

em que o valor de Y para um dado x pode ser derivada somente se o impacto é conhecida, então você pode estimar o impacto usando OLS apenas se utilizar uma transformação log. Se você tomar o log natural de ambos os lados, você acaba com

Onde

é a constante desconhecida e

É desconhecido o impacto de x. Você pode estimar este com OLS simplesmente usando valores de log naturais para a variável independente (x) E a escala original para a variável dependente (Y).

Depois de estimar um modelo logarítmico linear, os coeficientes podem ser usadas para determinar o impacto das variáveis ​​independentes (x) Sobre a variável dependente (Y). Os coeficientes em um modelo log-linear representam a prevista mudança de unidade na sua variável dependente, para um variação percentual na variável independente.

Usando cálculo com um modelo log-linear simples, você pode ver como os coeficientes devem ser interpretados. Comece com o modelo

e diferenciá-lo para se obter

O termo à direita; mão-side é a alteração percentual na x, e o termo do lado esquerdo; mão-lado, é a unidade de mudança Y.

Na economia, muitas situações são caracterizadas por retornos decrescentes marginais. O modelo de log-linear geralmente funciona bem em situações em que o efeito de x em Y mantém sempre o mesmo sinal (positivo ou negativo), mas o seu impacto diminui.

Suponha-se, através de uma amostra aleatória de escolas distritos, você obter os seguintes estimativas de regressão:

Onde Y é a pontuação média de matemática SAT e x é a despesa por estudante. O coeficiente estimado

implica que um aumento de 1 por cento em gastos por estudante aumenta a pontuação média de matemática do SAT por 0,65 pontos.

Se você estimar uma regressão log-linear, um par de resultados para o coeficiente de x produzir os relacionamentos mais prováveis:

Parte (a) mostra uma função log-linear, em que o impacto da variável independente é positivo.

Parte (b) mostra uma função log-linear, em que o impacto da variável independente é negativo.

Tal como acontece com log-log e log-linear modelos, os coeficientes de regressão em modelos log-linear não representam encosta.