Como encontrar uma normal linha perpendicular a uma linha tangente
Uma linha normal a uma curva num dado ponto, é a linha perpendicular à linha que é tangente a esse mesmo ponto. Encontre os pontos de perpendicularidade para todas as linhas normais para a parábola
que passam através do ponto (3, 15):
O gráfico da parábola e traçar o ponto (3, 15). Agora, antes de fazer a matemática, tentar aproximar os locais de todas as linhas normais. Quantos você pode ver? É muito fácil ver que, a partir de (3, 15), uma linha normal desce ligeiramente para a direita e outra vai para baixo um pouco mais acentuada para a esquerda. Mas você encontrar o terceiro que é entre esses dois? Não se preocupe se você não viu este, pois quando você fizer as contas, você obtém todas as três soluções.
Ao fazer o cálculo, ou qualquer matemática para essa matéria, chegar a um senso comum, estimativa aproximada da solução para um problema antes de fazer a matemática (quando possível e se o tempo permitir). Este aprofunda sua compreensão dos conceitos envolvidos e fornece um cheque para a solução matemática.
A figura mostra a parábola e as três linhas normais.
Olhando para a figura, você pode apreciar como prática esse problema é. É realmente vai vir a calhar se acontecer de você encontrar-se em pé dentro da curva de uma parede parabólica, e você quer saber a localização precisa dos três pontos na parede onde você poderia jogar uma bola e têm-lo saltar para trás para você.
A solução é muito semelhante à solução do problema linha tangente, exceto que, neste problema que você usar a regra para linhas perpendiculares:
As pistas de linhas perpendiculares são inversos opostos.
Cada linha normal na figura é perpendicular à linha tangente traçada no ponto em que o normal, encontra a curva. Assim, a inclinação de cada linha normal é o recíproco oposto da inclinação da tangente correspondente - o que, naturalmente, é dada pelo derivado. Então aqui vai.
Tome um modo geral, (x, y), Sobre a parábola
e substituto
para y.
Aqui o derivado da parábola.
Usando a fórmula de inclinação, definir a inclinação de cada linha normal a partir de (3, 15) para
igual ao inverso oposto do derivado de
e resolver para x.
Agora, não há nenhuma maneira automática para obter soluções exatas para isso (3º grau) equação cúbica como a maneira como a fórmula quadrática dá-lhe as soluções para uma equação de segundo grau. Em vez disso, pode representar graficamente
e a x-intercepta dar-lhe as soluções, mas com este método, não há nenhuma garantia de que você vai ter soluções exatas. (Muitas vezes, as soluções aproximadas são o melhor que você pode fazer com equações cúbicas.) Aqui, no entanto, você sorte - na verdade eu tinha algo a ver com isso - e obter as soluções exatas de -8, -4 e 12.
Ligue cada um dos x-coordenadas (-8, -4 e 12) dentro
para se obter o y-coordena.
Assim, os três pontos de normalidade são (-8, 4), (-4, 1), e (12, 9).