Teoria das Cordas e três dimensões do espaço

Uma maneira de olhar para a teoria das supercordas é perceber que as direções uma corda podem se mover só pode ser descrito com uma base de dez vetores distintos, então a teoria descreve um espaço vetorial 10-dimensional.

Um dos principais passos de trabalho com espaço vectorial é encontrar o base para o espaço de vetor, uma maneira de definir o número de vetores é necessário definir qualquer ponto em todo o espaço vetorial. Por exemplo, um espaço de 5-dimensional tem uma base de cinco vectores.

Ao olhar em nosso mundo, tem três dimensões - para cima e para baixo, esquerda e direita, frente e para trás. Se você der uma longitude, latitude e altitude, é possível determinar qualquer local da Terra, por exemplo.

Uma linha reta no espaço: Vectors

Ampliando a ideia da geometria cartesiana, você acha que é possível criar uma grade cartesiana em três dimensões, bem como dois, como mostrado nesta figura. Em tal grade, você pode definir um objeto chamado vetor, que tem tanto uma direcção e um comprimento. No espaço de 3-dimensional, cada vector é definido por três quantidades.

Os vectores podem, obviamente, existir em uma, duas, ou mais de três dimensões. (Tecnicamente, você pode até ter um vetor de dimensão zero, embora ele sempre terá duração zero e sem direção. Os matemáticos chamam tal caso # 147-trivial. # 148-)

Tratar espaço como contendo uma série de linhas retas é provavelmente uma das operações mais básicas que podem ocorrer dentro de um espaço. Um campo cedo da matemática que se concentra no estudo dos vetores é chamado álgebra Linear, que permite analisar vetores e coisas chamadas espaços vetoriais de qualquer dimensionalidade. (Mais matemática avançada pode cobrir vetores em mais detalhe e se estender para situações não-lineares.)

Torcendo espaço 2-dimensional em três dimensões: a fita de Möbius

No livro clássico Planície, o personagem principal é um quadrado (literalmente - ele tem quatro lados de igual comprimento), que ganha a habilidade de experimentar três dimensões. Ter acesso a três dimensões, você pode executar ações em uma superfície 2-dimensional de maneiras que parecem muito contra-intuitivo. Uma superfície 2-dimensional pode realmente ser torcido de tal forma que não tem começo nem fim!

O processo melhor conhecido é o de este Mobius tira, mostrado nesta figura. A tira de Mobius foi criado em 1858 por matemáticos alemães August Ferdinand Mobius e Johann Benedict Listing.

Você pode criar sua própria faixa de Mobius, tomando uma tira de papel - como uma espécie de longa marcador - e dando-lhe uma meia-torção. Em seguida, tomar as duas extremidades da tira de papel e fita-los juntos. Coloque um lápis no meio da superfície e desenhar uma linha ao longo do comprimento da tira, sem tomar o seu lápis do papel.

Uma coisa curiosa acontece como você continuar junto. Eventualmente, sem tirar o lápis do papel, a linha é desenhada em cada parte da superfície e, eventualmente, reúne-se com si mesmo. Não há # 147-back # 148- da tira de Mobius, que de alguma forma evita a linha de lápis. Você desenhou uma linha ao longo de toda a forma sem levantar o lápis.

Em termos matemáticos (e reais, dado o resultado da experiência de lápis), a tira de Moebius tem apenas uma superfície. Não há # 147 dentro # 148- e # 147 fora # 148- da tira de Mobius, a forma como existe em uma pulseira. Mesmo que as duas formas podem parecer iguais, eles são matematicamente muito diferentes entidades.

A tira de Mobius faz, é claro, ter um fim (ou limite) em termos de sua largura. Em 1882, o matemático alemão Felix Klein expandiu-se na ideia tira de Mobius para criar uma garrafa de Klein: uma forma que não tem no interior ou na superfície exterior, mas também não tem limites em qualquer direcção.

Dê uma olhada esta figura para entender a garrafa de Klein. Se você viajou ao longo da # 147-frente # 148- do caminho (com os x), você poderia, eventualmente, atingir o # 147-back # 148- desse caminho (com o 's).

Se você fosse uma vida de formigas em uma tira de Mobius, você poderia andar de seu comprimento e, eventualmente, voltar para onde você começou. Caminhando a sua largura, você eventualmente ficar na # 147 de ponta do mundo. # 148- Um estar formiga em uma garrafa de Klein, no entanto, poderia ir em qualquer direção e, se ele andou o tempo suficiente, eventualmente, encontrar-se de volta onde começou. (Viajando ao longo do caminho o, eventualmente, leva de volta para os x.)

A diferença entre andar em uma garrafa de Klein e andando em uma esfera é que a formiga não seria apenas a pé ao longo do exterior da garrafa de Klein, como seria em uma esfera, mas seria cobrir ambas as superfícies, assim como na tira de Mobius .